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# 基础通关 | 线性代数5道典型例题及解析
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你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
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今天这一节课的内容是基础通关。这里会用5道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。
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现在，你可以看一下基础通关的5道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。
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## 例题一
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找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{cc}
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1 & 2 \\\\\\
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3 & 0 \\\\\\
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\-1 & 2
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\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{c}
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1 \\\\\\
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0 \\\\\\
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1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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### 解析：
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这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第4节的内容。
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首先，形成增广矩阵：
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$$
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\\left\[\\begin{array}{cccc}
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1 & 2 & 1 \\\\\\
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3 & 0 & 0 \\\\\\
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\-1 & 2 & 1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
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1. 第一行乘-3和第二行相加。
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2. 第一行和第三行相加。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{cccc}
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1 & 2 & 1 \\\\\\
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0 & -6 & -3 \\\\\\
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0 & 4 & 2
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\\end{array}\\right\]
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$$
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2. 第二行乘$\\frac{1}{3}$和第一行相加。
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3. 第二行乘$\\frac{2}{3}$和第三行相加。
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4. 第三行乘$-\\frac{1}{6}$。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{llll}
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1 & 0 & 0 \\\\\\
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0 & 1 & \\frac{1}{2} \\\\\\
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0 & 0 & 0
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\\end{array}\\right\]
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$$
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最后得出该线性方程组的唯一解：
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$$
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x=\\left\[\\begin{array}{l}
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0 \\\\\\
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\\frac{1}{2}
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\\end{array}\\right\]
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$$
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## 例题二
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找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{lll}
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1 & 2 & 3 \\\\\\
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0 & 2 & 2
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\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{l}
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1 \\\\\\
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1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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### 解析：
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这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第4节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。
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首先，形成增广矩阵：
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$$
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\\left\[\\begin{array}{lllll}
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1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\\\\\
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0 & 2 & 2 & 1 & 1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
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1. 第一行乘-1和第二行相加；
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2. 第二行乘1/2。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{lllll}
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1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\\\
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0 & 1 & 1 & 1 & \\frac{1}{2}
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\\end{array}\\right\]
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$$
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使用主元列，得到特殊解：
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$$
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x=\\left\[\\begin{array}{l}
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0 \\\\\\
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\\frac{1}{2} \\\\\\
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0
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\\end{array}\\right\]
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$$
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下一步，获取线性方程组$Ax=0$的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：
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$$
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\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}
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1 \\\\\\
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1 \\\\\\
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\-1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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最后，把特殊解和通用解组合起来就是：
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$$
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x=\\left\[\\begin{array}{l}
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0 \\\\\\
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\\frac{1}{2} \\\\\\
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0
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\\end{array}\\right\]+\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}
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1 \\\\\\
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1 \\\\\\
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\-1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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## 例题三
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计算矩阵乘$AB$。
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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1 & 2 & 3 \\\\\\
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0 & -1 & 2
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\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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4 & -1 & 2 \\\\\\
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0 & 2 & 1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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### 解析：
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这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第3节的内容。
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矩阵乘无法完成，因为$A$是2行3列矩阵，$B$也是2行3列矩阵，$A$和邻居维度不同。
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## 例题四
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计算矩阵乘$AB$。
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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1 & 2 & 3 \\\\\\
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0 & -1 & 2
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\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{cc}
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4 & -1 \\\\\\
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2 & 0 \\\\\\
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2 & 1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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### 解析：
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这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第3节的内容。
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矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿$a\_{11}$举例：$a\_{11}=1 \\times 4+2 \\times 2+3 \\times 2=14$，结果：
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$$
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A B=\\left\[\\begin{array}{cc}
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14 & 2 \\\\\\
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2 & 2
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\\end{array}\\right\]
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$$
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## 例题五
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假设$R^{3}$和它的运算$\\langle\\ ·,· \\rangle$，$x, y \\in R^{3}$，我们有：
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$$
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\\langle x, y\\rangle=x^{T} A y, A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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4 & 2 & 1 \\\\\\
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0 & 4 & -1 \\\\\\
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1 & -1 & 5
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\\end{array}\\right\]
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$$
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那么，$\\langle\\ ·,· \\rangle$是内积吗？
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### 解析：
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这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第10节的内容。
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选择$x=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$，$y=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$，通过计算，能够得到：
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$$
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\\begin{array}{l}
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\\langle x, y\\rangle=16 \\\\\\
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\\langle y, x\\rangle=14 \\\\\\
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\\langle x, y\\rangle \\neq\\langle y, x\\rangle
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\\end{array}
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$$
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于是，$\\langle\\ ·,· \\rangle$是不对称的。
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