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基础通关 | 线性代数5道典型例题及解析
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
今天这一节课的内容是基础通关。这里会用5道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。
现在，你可以看一下基础通关的5道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。
例题一
找到线性方程组Ax=b的所有解，其中：
A=\\left\[\\begin{array}{cc}
1 & 2 \\\\\\
3 & 0 \\\\\\
\-1 & 2
\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{c}
1 \\\\\\
0 \\\\\\
1
\\end{array}\\right\]
解析：
这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第4节的内容。
首先，形成增广矩阵：
\\left\[\\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 \\\\\\
3 & 0 & 0 \\\\\\
\-1 & 2 & 1
\\end{array}\\right\]
接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
- 第一行乘-3和第二行相加。
- 第一行和第三行相加。
\\left\[\\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 \\\\\\
0 & -6 & -3 \\\\\\
0 & 4 & 2
\\end{array}\\right\]
- 第二行乘
\\frac{1}{3}和第一行相加。 - 第二行乘
\\frac{2}{3}和第三行相加。 - 第三行乘
-\\frac{1}{6}。
\\left\[\\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 1 & \\frac{1}{2} \\\\\\
0 & 0 & 0
\\end{array}\\right\]
最后得出该线性方程组的唯一解：
x=\\left\[\\begin{array}{l}
0 \\\\\\
\\frac{1}{2}
\\end{array}\\right\]
例题二
找到线性方程组Ax=b的所有解，其中：
A=\\left\[\\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\\\\\
0 & 2 & 2
\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{l}
1 \\\\\\
1
\\end{array}\\right\]
解析：
这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第4节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。
首先，形成增广矩阵：
\\left\[\\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\\\\\
0 & 2 & 2 & 1 & 1
\\end{array}\\right\]
接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
- 第一行乘-1和第二行相加；
- 第二行乘1/2。
\\left\[\\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\\\
0 & 1 & 1 & 1 & \\frac{1}{2}
\\end{array}\\right\]
使用主元列，得到特殊解：
x=\\left\[\\begin{array}{l}
0 \\\\\\
\\frac{1}{2} \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
下一步，获取线性方程组Ax=0的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：
\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}
1 \\\\\\
1 \\\\\\
\-1
\\end{array}\\right\]
最后，把特殊解和通用解组合起来就是：
x=\\left\[\\begin{array}{l}
0 \\\\\\
\\frac{1}{2} \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]+\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}
1 \\\\\\
1 \\\\\\
\-1
\\end{array}\\right\]
例题三
计算矩阵乘AB。
A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\\\\\
0 & -1 & 2
\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 2 \\\\\\
0 & 2 & 1
\\end{array}\\right\]
解析：
这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第3节的内容。
矩阵乘无法完成，因为A是2行3列矩阵，B也是2行3列矩阵，A和邻居维度不同。
例题四
计算矩阵乘AB。
A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\\\\\
0 & -1 & 2
\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{cc}
4 & -1 \\\\\\
2 & 0 \\\\\\
2 & 1
\\end{array}\\right\]
解析：
这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第3节的内容。
矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿a\_{11}举例：a\_{11}=1 \\times 4+2 \\times 2+3 \\times 2=14，结果：
A B=\\left\[\\begin{array}{cc}
14 & 2 \\\\\\
2 & 2
\\end{array}\\right\]
例题五
假设R^{3}和它的运算\\langle\\ ·,· \\rangle，x, y \\in R^{3}，我们有：
\\langle x, y\\rangle=x^{T} A y, A=\\left\[\\begin{array}{ccc}
4 & 2 & 1 \\\\\\
0 & 4 & -1 \\\\\\
1 & -1 & 5
\\end{array}\\right\]
那么，\\langle\\ ·,· \\rangle是内积吗？
解析：
这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第10节的内容。
选择x=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\end{array}\\right\]^{T}，y=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\\end{array}\\right\]^{T}，通过计算，能够得到：
\\begin{array}{l}
\\langle x, y\\rangle=16 \\\\\\
\\langle y, x\\rangle=14 \\\\\\
\\langle x, y\\rangle \\neq\\langle y, x\\rangle
\\end{array}
于是，\\langle\\ ·,· \\rangle是不对称的。