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# 基础通关 | 线性代数5道典型例题及解析

    你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。

今天这一节课的内容是基础通关。这里会用5道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。

现在，你可以看一下基础通关的5道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。

## 例题一

找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：

$$  
A=\\left\[\\begin{array}{cc}  
1 & 2 \\\\\\  
3 & 0 \\\\\\  
\-1 & 2  
\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{c}  
1 \\\\\\  
0 \\\\\\  
1  
\\end{array}\\right\]  
$$

### 解析：

这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第4节的内容。

首先，形成增广矩阵：

$$  
\\left\[\\begin{array}{cccc}  
1 & 2 & 1 \\\\\\  
3 & 0 & 0 \\\\\\  
\-1 & 2 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：

1.  第一行乘-3和第二行相加。
2.  第一行和第三行相加。

$$  
\\left\[\\begin{array}{cccc}  
1 & 2 & 1 \\\\\\  
0 & -6 & -3 \\\\\\  
0 & 4 & 2  
\\end{array}\\right\]  
$$

2.  第二行乘$\\frac{1}{3}$和第一行相加。
3.  第二行乘$\\frac{2}{3}$和第三行相加。
4.  第三行乘$-\\frac{1}{6}$。

$$  
\\left\[\\begin{array}{llll}  
1 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 1 & \\frac{1}{2} \\\\\\  
0 & 0 & 0  
\\end{array}\\right\]  
$$

最后得出该线性方程组的唯一解：

$$  
x=\\left\[\\begin{array}{l}  
0 \\\\\\  
\\frac{1}{2}  
\\end{array}\\right\]  
$$

## 例题二

找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：

$$  
A=\\left\[\\begin{array}{lll}  
1 & 2 & 3 \\\\\\  
0 & 2 & 2  
\\end{array}\\right\], b=\\left\[\\begin{array}{l}  
1 \\\\\\  
1  
\\end{array}\\right\]  
$$

### 解析：

这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第4节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。

首先，形成增广矩阵：

$$  
\\left\[\\begin{array}{lllll}  
1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\\\\\  
0 & 2 & 2 & 1 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：

1.  第一行乘-1和第二行相加；
2.  第二行乘1/2。

$$  
\\left\[\\begin{array}{lllll}  
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\\\  
0 & 1 & 1 & 1 & \\frac{1}{2}  
\\end{array}\\right\]  
$$

使用主元列，得到特殊解：

$$  
x=\\left\[\\begin{array}{l}  
0 \\\\\\  
\\frac{1}{2} \\\\\\  
0  
\\end{array}\\right\]  
$$

下一步，获取线性方程组$Ax=0$的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：

$$  
\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}  
1 \\\\\\  
1 \\\\\\  
\-1  
\\end{array}\\right\]  
$$

最后，把特殊解和通用解组合起来就是：

$$  
x=\\left\[\\begin{array}{l}  
0 \\\\\\  
\\frac{1}{2} \\\\\\  
0  
\\end{array}\\right\]+\\lambda\\left\[\\begin{array}{c}  
1 \\\\\\  
1 \\\\\\  
\-1  
\\end{array}\\right\]  
$$

## 例题三

计算矩阵乘$AB$。

$$  
A=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
1 & 2 & 3 \\\\\\  
0 & -1 & 2  
\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
4 & -1 & 2 \\\\\\  
0 & 2 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

### 解析：

这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第3节的内容。

矩阵乘无法完成，因为$A$是2行3列矩阵，$B$也是2行3列矩阵，$A$和邻居维度不同。

## 例题四

计算矩阵乘$AB$。

$$  
A=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
1 & 2 & 3 \\\\\\  
0 & -1 & 2  
\\end{array}\\right\], B=\\left\[\\begin{array}{cc}  
4 & -1 \\\\\\  
2 & 0 \\\\\\  
2 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

### 解析：

这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第3节的内容。

矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿$a\_{11}$举例：$a\_{11}=1 \\times 4+2 \\times 2+3 \\times 2=14$，结果：

$$  
A B=\\left\[\\begin{array}{cc}  
14 & 2 \\\\\\  
2 & 2  
\\end{array}\\right\]  
$$

## 例题五

假设$R^{3}$和它的运算$\\langle\\ ·,· \\rangle$，$x, y \\in R^{3}$，我们有：

$$  
\\langle x, y\\rangle=x^{T} A y, A=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
4 & 2 & 1 \\\\\\  
0 & 4 & -1 \\\\\\  
1 & -1 & 5  
\\end{array}\\right\]  
$$

那么，$\\langle\\ ·,· \\rangle$是内积吗？

### 解析：

这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第10节的内容。

选择$x=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$，$y=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$，通过计算，能够得到：

$$  
\\begin{array}{l}  
\\langle x, y\\rangle=16 \\\\\\  
\\langle y, x\\rangle=14 \\\\\\  
\\langle x, y\\rangle \\neq\\langle y, x\\rangle  
\\end{array}  
$$

于是，$\\langle\\ ·,· \\rangle$是不对称的。