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12 | 如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上？
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我要讲的内容是“如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上”。
在第八篇的线性映射中，我从二维直角坐标系的角度，讲解了线性映射和变换矩阵。其中，我特别讲到了，二维平面图形图像处理中的线性变换，比如物体的拉伸和旋转。在第九篇的仿射空间中，更是提到了3D的平移矩阵、缩放矩阵和旋转矩阵。
而这一篇则有些不一样，我会从更实践的角度，让你了解到二维平面和三维空间的变换，以及3D图形是如何显示到二维屏幕上的。矩阵在这里扮演的角色可以说是功不可没，接下来我们一起来看下矩阵到底是怎么做到的。
三维空间变换
我们都知道，计算机图形图像处理的是图片，且计算机屏幕是二维的。那你有没有想过，我们在屏幕上看到的静态和动态三维世界到底是怎么回事呢？这个就要涉及到三维到二维的投影技术了，这类技术都离不开矩阵，而且是超大规模矩阵运算。
三维空间的变换依赖于4×4矩阵，可能你会想，为什么不是3×3呢？这是因为四个关键运算中有一个无法用3×3矩阵来完成，其他三个运算为了统一也就都采用4×4矩阵了，这四个关键运算是：
- 平移；
- 缩放；
- 旋转；
- 投影。
平移就是那个无法用3×3矩阵来完成的特殊运算，也是看起来最简单的运算，只是每个点都加上向量v\_{0}，也就是点(x\_{0},y\_{0},z\_{0})。
但是，你别被这个假象欺骗了，平移这个运算是非线性的。这一点只需要看平移前各点与原点的连线，以及平移后各点与原点之间的连线就知道了。或者，你也可以从公式的角度理解，就是f(a+b)不等于f(a)+f(b)。而为了表示平移，以及现实世界的描述，就需要使用第九篇中说的仿射空间。所以，3×3矩阵是无法平移原点的。
但是，如果我们把原点坐标变成(0,0,0,1)，那就能解决平移的问题了。点(x,y,z)的齐次坐标就是(x,y,z,1)，这就变成了4×4矩阵。接下来，我分别介绍这四个关键运算，它们是3D图形显示在屏幕上的第一步，也就是坐标系变换要做的事情，比如：将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。
平移
我们沿着向量v\_{0}平移整个三维空间，把原点平移到了(x\_{0},y\_{0},z\_{0})，这也就意味着三维空间的每个点都加上了点(x\_{0},y\_{0},z\_{0})。使用齐次坐标，把整个空间平移了v\_{0}的4×4矩阵T如下所示。
T=\\left\[\\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 1 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1 & 0 \\\\\\
x\_{0} & y\_{0} & z\_{0} & 1
\\end{array}\\right\]
这里很重要的一点是，计算机图形图像是基于行向量计算的。也就是说，计算方法是行乘矩阵，而不是矩阵乘列，比如：\\left\[\\begin{array}{llllllll}0 & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right\] T=\\left\[\\begin{array}{llll}x\_{0} & y\_{0} & z\_{0} & 1\\end{array}\\right\]。
平移的整个过程是这样的：假设要把原来的某个点(x,y,z)平移v\_{0}，我们需要切换到齐次坐标(x,y,z,1)，然后，(x,y,z,1)再乘T，就能得到每个原来的向量v平移到v+v\_{0}的最终结果：\\left\[\\begin{array}{llll}x & y & z & 1\\end{array}\\right\] T=\\left\[\\begin{array}{lllll}x+x\_{0} & y+y\_{0} & z+z\_{0} & 1\\end{array}\\right\]。
这里你需要注意：一个行向量乘T的结果还是一个行向量。
缩放
在前端开发中，我们经常会调整图片宽度和高度来适配页面，比如：把图片整体放大90%，那么在线性代数中就是0.9乘单位矩阵。在二维平面中，我们通常用2×2矩阵来表达缩放，在三维立体中则是3×3矩阵。而在计算机图形图像的齐次坐标中，就不一样了，需要大一个维度，也就是说，3×3矩阵变成了4×4矩阵。
比如，二维平面中图片放大90%就是：
S=\\left\[\\begin{array}{ccc}
0.9 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 0.9 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
三维立体中图片放大90%就是：
S=\\left\[\\begin{array}{cccc}
0.9 & 0 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 0.9 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0.9 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
缩放还可以在不同的方向上进行，比如：一个二维平面图片从整页适配调整到半页适配，y方向就要乘\\frac{1}{2}，创建一个\\frac{1}{4}的页边留白，x方向就要乘\\frac{3}{4}，这样得到的缩放矩阵就是：
S=\\left\[\\begin{array}{lll}
\\frac{3}{4} & 0 & 0 \\\\\\
0 & \\frac{1}{2} & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
平移和缩放组合情况会怎样呢？如果我们要先平移再缩放，那应该这样乘：vTS，如果我们要先缩放再平移，那应该这样乘：vST。注意：它们乘的顺序是不同的，哪个运算先做就先乘，因为矩阵的左乘和右乘的结果是不同的。
在第九篇的仿射空间中提到了平移和缩放矩阵，你也可以回过头再去看看。
旋转
二维和三维空间的旋转由正交矩阵Q来完成，它的行列式是+1。同样我们使用齐次坐标，一个平面旋转的正交矩阵Q就从2×2就变成了3×3矩阵R。
Q=\\left\[\\begin{array}{cc}
\\cos \\theta & -\\sin \\theta \\\\\\
\\sin \\theta & \\cos \\theta
\\end{array}\\right\]
R=\\left\[\\begin{array}{ccc}
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
这个矩阵是围绕原点旋转了平面，那如果矩阵旋转时围绕的不是原点，而是其他点呢？这个就稍微复杂一些，不是直接旋转，而是先平移再旋转，比如我们要围绕点(4,5)，让平面旋转\\theta角度的话：
- 首先，要把
(4,5)平移到(0,0)； - 接着，旋转
\\theta角度； - 最后，再把
(0,0)平移回(4,5)。
整个过程通过数学公式来表达就是：
v T\_{00} R T\_{45}=\\left\[\\begin{array}{lll}
x & y & 1
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 1 & 0 \\\\\\
\-4 & -5 & 1
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 1 & 0 \\\\\\
4 & 5 & 1
\\end{array}\\right\]
说完二维我们再来说三维。不过在三维空间中，旋转就有些不一样了，因为它是围绕一个轴“翻转”的。更“数学”的说法就是，围绕λ=1的特征向量的一条线翻转。
现在，我们来看看分别围绕x、y和z轴方向旋转的矩阵R有什么不同？
1.围绕x轴方向旋转：
R\_{x}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\
0 & \\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\
0 & \\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
2.围绕y轴方向旋转：
R\_{y}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
\\cos \\theta & 0 & \\sin \\theta & 0 \\\\\\
0 & 1 & 0 & 0 \\\\\\
\-\\sin \\theta & 0 & \\cos \\theta & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
3.围绕z轴方向旋转：
R\_{z}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 & 0 \\\\\\
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
你看出来哪里不同了吗？其实主要就是1的位置不同，以及y轴方向旋转的sin互换了。
投影
现在，我们想把3D图形显示到二维屏幕上，该怎么做呢？
从数学角度理解就是把三维向量投影到平面上。在线性代数中，我们看到的大部分的平面都是通过原点的，但在现实生活中则不是。一个通过原点的平面是一个向量空间，而其他的平面则是仿射空间，具体仿射空间的定义你可以回顾一下第九篇的内容。
我们先来看看平面通过原点的情况。假设一个通过原点的平面，它的单位法向量是n，那么平面中的向量v，满足这个等式：n^{T}v=0。
而投影到平面的投影矩阵是：I-nn^{T}。
如果把原来的向量和这个投影矩阵相乘，就能投影这个向量。我们可以用这个投影矩阵来验证一下：单位法向量n投影后成为了0向量，而平面向量v投影后还是其自身。
(I-n n^{T}) n=n-n(n^{T} n)=0
(I-n n^{T}) v=v-n(n^{T} v)=v
接下来，我们在齐次坐标中来看一下4×4的投影矩阵：
P=\\left\[\\begin{array}{lll}
& & & 0 \\\\\\
& I-n n^{T} & & 0 \\\\\\
& & & 0 \\\\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\]
假设现在有一个不过原点的平面，v\_{0}是这个平面上的一个点，现在要把v\_{0}投影到这个平面，则需要经历三个步骤，和刚才介绍的围绕点(4,5)，让平面旋转\\theta角度经历的三个步骤类似：
- 把
v\_{0}平移到原点； - 沿着
n方向投影； - 再平移回
v\_{0}。
整个过程通过数学公式来表达就是：
T\_{-v\_{0}} P T\_{+v\_{0}}=\\left\[\\begin{array}{cc}
I & 0 \\\\\\
\-v\_{0} & 1
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{cc}
I-n n^{T} & 0 \\\\\\
0 & 1
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
I & 0 \\\\\\
v\_{0} & 1
\\end{array}\\right\]
计算机3D图形介绍
有了数学知识的铺垫，我们再来看计算机3D图形显示到二维屏幕上的过程。在3D环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换（又称为空间变换），才能生成二维图像显示在输出设备上。
将一个3D物体显示出来需要经历三个步骤，其中，第一步，也是最重要的一步就是坐标系变换，将局部坐标系表示的点变换到世界坐标系中，然后再变换到视图坐标系（或叫摄像机坐标系），接着继续变换到裁剪坐标系（投影坐标系）。
- 将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。
- 如果将世界坐标系中的一个点变换到视图坐标系（摄像机坐标系），则可以使用视图矩阵进行操作。视图矩阵我们这里没有详细说明，它有个相对复杂的推导过程的，感兴趣的同学可以参考我后面推荐的两本书。
- 如果将视图坐标系（摄像机坐标系）中的一个点变换到裁剪坐标系（投影坐标系），则可以使用投影矩阵进行操作。
最后，我推荐两本非常好的书作为你继续研究计算机3D图形的参考。
《TypeScript图形渲染实战：基于WebGL的3D架构与实现》，作者：步磊峰，这本书描述了3D图形处理的基本数学知识的同时，更注重WebGL框架下的图形渲染实战。
《Computer Graphics: Principles and Practice (3rd Edition)》，作者：Hughes, Van Dam, McGuire, Skylar, Foley, Feiner, Akeley，这本书虽然也有实践，但更偏重计算机图形理论一些。
本节小结
今天的整篇内容都是围绕三维空间的变换展开的，你需要掌握三维空间中的四个关键运算：平移、缩放、旋转和投影的基本概念，以及对应的平移、缩放、旋转和投影矩阵，这些都是继续深入学习计算机3D图形处理的数学基础。
因为在3D环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换，才能生成二维图像显示在输出设备上。了解了这些之后，你就能掌握计算机3D图形处理的本质，也许还能在将来的实践中优化图形渲染效率。
线性代数练习场
今天我要给你一道开放题：如果把正方形投影到一个平面上，你会得到一个什么形状的图形？
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