# 12 | 如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上？

    你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我要讲的内容是“如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上”。

在第八篇的[线性映射](https://time.geekbang.org/column/article/272815)中，我从二维直角坐标系的角度，讲解了线性映射和变换矩阵。其中，我特别讲到了，二维平面图形图像处理中的线性变换，比如物体的拉伸和旋转。在第九篇的[仿射空间](https://time.geekbang.org/column/article/274222)中，更是提到了3D的平移矩阵、缩放矩阵和旋转矩阵。

而这一篇则有些不一样，我会从更实践的角度，让你了解到二维平面和三维空间的变换，以及3D图形是如何显示到二维屏幕上的。矩阵在这里扮演的角色可以说是功不可没，接下来我们一起来看下矩阵到底是怎么做到的。

## 三维空间变换

我们都知道，计算机图形图像处理的是图片，且计算机屏幕是二维的。那你有没有想过，我们在屏幕上看到的静态和动态三维世界到底是怎么回事呢？这个就要涉及到三维到二维的投影技术了，这类技术都离不开矩阵，而且是超大规模矩阵运算。

三维空间的变换依赖于4×4矩阵，可能你会想，为什么不是3×3呢？这是因为四个关键运算中有一个无法用3×3矩阵来完成，其他三个运算为了统一也就都采用4×4矩阵了，这四个关键运算是：

*   平移；
*   缩放；
*   旋转；
*   投影。

平移就是那个无法用3×3矩阵来完成的特殊运算，也是看起来最简单的运算，只是每个点都加上向量$v\_{0}$，也就是点$(x\_{0},y\_{0},z\_{0})$。

但是，你别被这个假象欺骗了，平移这个运算是非线性的。这一点只需要看平移前各点与原点的连线，以及平移后各点与原点之间的连线就知道了。或者，你也可以从公式的角度理解，就是$f(a+b)$不等于$f(a)+f(b)$。而为了表示平移，以及现实世界的描述，就需要使用第九篇中说的[仿射空间](https://time.geekbang.org/column/article/274222)。所以，3×3矩阵是无法平移原点的。

但是，如果我们把原点坐标变成$(0,0,0,1)$，那就能解决平移的问题了。点$(x,y,z)$的齐次坐标就是$(x,y,z,1)$，这就变成了4×4矩阵。接下来，我分别介绍这四个关键运算，它们是3D图形显示在屏幕上的第一步，也就是坐标系变换要做的事情，比如：将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。

## 平移

我们沿着向量$v\_{0}$平移整个三维空间，把原点平移到了$(x\_{0},y\_{0},z\_{0})$，这也就意味着三维空间的每个点都加上了点$(x\_{0},y\_{0},z\_{0})$。使用齐次坐标，把整个空间平移了$v\_{0}$的4×4矩阵$T$如下所示。

$$  
T=\\left\[\\begin{array}{llll}  
1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 1 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1 & 0 \\\\\\  
x\_{0} & y\_{0} & z\_{0} & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

这里很重要的一点是，计算机图形图像是基于行向量计算的。也就是说，计算方法是行乘矩阵，而不是矩阵乘列，比如：$\\left\[\\begin{array}{llllllll}0 & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right\] T=\\left\[\\begin{array}{llll}x\_{0} & y\_{0} & z\_{0} & 1\\end{array}\\right\]$。

平移的整个过程是这样的：假设要把原来的某个点$(x,y,z)$平移$v\_{0}$，我们需要切换到齐次坐标$(x,y,z,1)$，然后，$(x,y,z,1)$再乘$T$，就能得到每个原来的向量$v$平移到$v+v\_{0}$的最终结果：$\\left\[\\begin{array}{llll}x & y & z & 1\\end{array}\\right\] T=\\left\[\\begin{array}{lllll}x+x\_{0} & y+y\_{0} & z+z\_{0} & 1\\end{array}\\right\]$。

这里你需要注意：一个行向量乘T的结果还是一个行向量。

## 缩放

在前端开发中，我们经常会调整图片宽度和高度来适配页面，比如：把图片整体放大90%，那么在线性代数中就是0.9乘单位矩阵。在二维平面中，我们通常用2×2矩阵来表达缩放，在三维立体中则是3×3矩阵。而在计算机图形图像的齐次坐标中，就不一样了，需要大一个维度，也就是说，3×3矩阵变成了4×4矩阵。

比如，二维平面中图片放大90%就是：

$$  
S=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
0.9 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 0.9 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

三维立体中图片放大90%就是：

$$  
S=\\left\[\\begin{array}{cccc}  
0.9 & 0 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 0.9 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0.9 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

缩放还可以在不同的方向上进行，比如：一个二维平面图片从整页适配调整到半页适配，$y$方向就要乘$\\frac{1}{2}$，创建一个$\\frac{1}{4}$的页边留白，$x$方向就要乘$\\frac{3}{4}$，这样得到的缩放矩阵就是：

$$  
S=\\left\[\\begin{array}{lll}  
\\frac{3}{4} & 0 & 0 \\\\\\  
0 & \\frac{1}{2} & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

平移和缩放组合情况会怎样呢？如果我们要先平移再缩放，那应该这样乘：$vTS$，如果我们要先缩放再平移，那应该这样乘：$vST$。注意：它们乘的顺序是不同的，哪个运算先做就先乘，因为矩阵的左乘和右乘的结果是不同的。

在第九篇的[仿射空间](https://time.geekbang.org/column/article/274222)中提到了平移和缩放矩阵，你也可以回过头再去看看。

## 旋转

二维和三维空间的旋转由正交矩阵$Q$来完成，它的行列式是+1。同样我们使用齐次坐标，一个平面旋转的正交矩阵$Q$就从2×2就变成了3×3矩阵$R$。

$$  
Q=\\left\[\\begin{array}{cc}  
\\cos \\theta & -\\sin \\theta \\\\\\  
\\sin \\theta & \\cos \\theta  
\\end{array}\\right\]  
$$

$$  
R=\\left\[\\begin{array}{ccc}  
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\  
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

这个矩阵是围绕原点旋转了平面，那如果矩阵旋转时围绕的不是原点，而是其他点呢？这个就稍微复杂一些，不是直接旋转，而是先平移再旋转，比如我们要围绕点$(4,5)$，让平面旋转$\\theta$角度的话：

1.  首先，要把$(4,5)$平移到$(0,0)$；
2.  接着，旋转$\\theta$角度；
3.  最后，再把$(0,0)$平移回$(4,5)$。

整个过程通过数学公式来表达就是：

$$  
v T\_{00} R T\_{45}=\\left\[\\begin{array}{lll}  
x & y & 1  
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}  
1 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 1 & 0 \\\\\\  
\-4 & -5 & 1  
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}  
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\  
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ccc}  
1 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 1 & 0 \\\\\\  
4 & 5 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

说完二维我们再来说三维。不过在三维空间中，旋转就有些不一样了，因为它是围绕一个轴“翻转”的。更“数学”的说法就是，围绕$λ=1$的特征向量的一条线翻转。

现在，我们来看看分别围绕$x$、$y$和$z$轴方向旋转的矩阵$R$有什么不同？

1.围绕$x$轴方向旋转：

$$  
R\_{x}=\\left\[\\begin{array}{cccc}  
1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\  
0 & \\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\\\  
0 & \\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

2.围绕$y$轴方向旋转：

$$  
R\_{y}=\\left\[\\begin{array}{cccc}  
\\cos \\theta & 0 & \\sin \\theta & 0 \\\\\\  
0 & 1 & 0 & 0 \\\\\\  
\-\\sin \\theta & 0 & \\cos \\theta & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

3.围绕$z$轴方向旋转：

$$  
R\_{z}=\\left\[\\begin{array}{cccc}  
\\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 & 0 \\\\\\  
\\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 1 & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

你看出来哪里不同了吗？其实主要就是1的位置不同，以及$y$轴方向旋转的$sin$互换了。

## 投影

现在，我们想把3D图形显示到二维屏幕上，该怎么做呢？

从数学角度理解就是把三维向量投影到平面上。在线性代数中，我们看到的大部分的平面都是通过原点的，但在现实生活中则不是。一个通过原点的平面是一个向量空间，而其他的平面则是仿射空间，具体仿射空间的定义你可以回顾一下[第九篇](https://time.geekbang.org/column/article/274222)的内容。

我们先来看看平面通过原点的情况。假设一个通过原点的平面，它的单位法向量是$n$，那么平面中的向量$v$，满足这个等式：$n^{T}v=0$。

而投影到平面的投影矩阵是：$I-nn^{T}$。

如果把原来的向量和这个投影矩阵相乘，就能投影这个向量。我们可以用这个投影矩阵来验证一下：单位法向量$n$投影后成为了0向量，而平面向量$v$投影后还是其自身。

$$  
(I-n n^{T}) n=n-n(n^{T} n)=0  
$$

$$  
(I-n n^{T}) v=v-n(n^{T} v)=v  
$$

接下来，我们在齐次坐标中来看一下4×4的投影矩阵：

$$  
P=\\left\[\\begin{array}{lll}  
& & & 0 \\\\\\  
& I-n n^{T} & & 0 \\\\\\  
& & & 0 \\\\\\  
0 & 0 & 0 & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

假设现在有一个不过原点的平面，$v\_{0}$是这个平面上的一个点，现在要把$v\_{0}$投影到这个平面，则需要经历三个步骤，和刚才介绍的围绕点$(4,5)$，让平面旋转$\\theta$角度经历的三个步骤类似：

1.  把$v\_{0}$平移到原点；
2.  沿着$n$方向投影；
3.  再平移回$v\_{0}$。

整个过程通过数学公式来表达就是：

$$  
T\_{-v\_{0}} P T\_{+v\_{0}}=\\left\[\\begin{array}{cc}  
I & 0 \\\\\\  
\-v\_{0} & 1  
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{cc}  
I-n n^{T} & 0 \\\\\\  
0 & 1  
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}  
I & 0 \\\\\\  
v\_{0} & 1  
\\end{array}\\right\]  
$$

## 计算机3D图形介绍

有了数学知识的铺垫，我们再来看计算机3D图形显示到二维屏幕上的过程。在3D环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换（又称为空间变换），才能生成二维图像显示在输出设备上。

将一个3D物体显示出来需要经历三个步骤，其中，第一步，也是最重要的一步就是坐标系变换，将局部坐标系表示的点变换到世界坐标系中，然后再变换到视图坐标系（或叫摄像机坐标系），接着继续变换到裁剪坐标系（投影坐标系）。

*   将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。
*   如果将世界坐标系中的一个点变换到视图坐标系（摄像机坐标系），则可以使用视图矩阵进行操作。视图矩阵我们这里没有详细说明，它有个相对复杂的推导过程的，感兴趣的同学可以参考我后面推荐的两本书。
*   如果将视图坐标系（摄像机坐标系）中的一个点变换到裁剪坐标系（投影坐标系），则可以使用投影矩阵进行操作。

最后，我推荐两本非常好的书作为你继续研究计算机3D图形的参考。

> 《TypeScript图形渲染实战：基于WebGL的3D架构与实现》，作者：步磊峰，这本书描述了3D图形处理的基本数学知识的同时，更注重WebGL框架下的图形渲染实战。  
> 《Computer Graphics: Principles and Practice (3rd Edition)》，作者：Hughes, Van Dam, McGuire, Skylar, Foley, Feiner, Akeley，这本书虽然也有实践，但更偏重计算机图形理论一些。

## 本节小结

今天的整篇内容都是围绕三维空间的变换展开的，你需要掌握三维空间中的四个关键运算：平移、缩放、旋转和投影的基本概念，以及对应的平移、缩放、旋转和投影矩阵，这些都是继续深入学习计算机3D图形处理的数学基础。

因为在3D环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换，才能生成二维图像显示在输出设备上。了解了这些之后，你就能掌握计算机3D图形处理的本质，也许还能在将来的实践中优化图形渲染效率。

## 线性代数练习场

今天我要给你一道开放题：如果把正方形投影到一个平面上，你会得到一个什么形状的图形？

欢迎在留言区晒出你的结果和思考，我会及时回复。同时，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友，一起讨论、学习。