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03 | 矩阵:为什么说矩阵是线性方程组的另一种表达?
你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数,今天我们要讲的内容是“矩阵”。
在开始学习之前,我想先问你个问题,你觉得,学习矩阵有什么用呢?你可以先自己想一想。之后我们讲任何一个知识的时候,你都可以从这个角度出发,自己先思考一下,这样有助于你对所学内容理解得更深刻。
对于刚才那个问题,我的答案很简单,就一句话,从我们程序员的角度去理解的话,矩阵可以极大地提高计算机的运算效率。怎么说呢?我给你举一个例子。在机器学习中(特别是深度学习,或者更具体一点,神经网络),并行计算是非常昂贵的。
上图是一个典型的神经网络架构,在这时候,矩阵就能发挥用武之地了,计算H
隐藏层输出的公式是:H = f( W.x + b )
,其中W
是权重矩阵,f
是激活函数,b
是偏差,x
是输入层矩阵。而这个计算过程就叫做向量化(Vectorization),这也是GPU在深度学习中非常重要的原因,因为GPU非常擅长做类似矩阵乘之类的运算。
X=\\left|\\begin{array}{l}
x\_{1} \\\\\\
x\_{2}
\\end{array}\\right|
W=\\left|\\begin{array}{ll}
w\_{1} & w\_{2} \\\\\\
w\_{4} & w\_{5} \\\\\\
x\_{3} & w\_{6}
\\end{array}\\right|
H=f\\left(\\left|\\begin{array}{ll}
w\_{1} & w\_{2} \\\\\\
w\_{4} & w\_{5} \\\\\\
x\_{3} & w\_{6}
\\end{array}\\right|\\left|\\begin{array}{l}
x\_{1} \\\\\\
x\_{2}
\\end{array}\\right|+b\\right)
不过,矩阵也不仅仅局限于神经网络的应用,同时它也可以用在计算机图形图像的应用中,比如,三维物体从取景到屏幕的显示,就需要经历一系列的空间变换,才能生成二维图像显示在显示器上。在这个计算过程中,我们都需要用到矩阵。
矩阵是非常实用的,但它正式作为数学中的研究对象出现,其实是在行列式的研究发展起来之后。英国数学家 Arthur Cayley 被公认为矩阵论的创立人,他提出的矩阵概念可能来自于行列式。但我相信另一种说法,提出矩阵是为了更简单地表达线性方程组,也就是说,矩阵是线性方程组的另一种表达。
矩阵的基本概念
线性方程组的概念很简单,上节我们已经简单提过。你在小学或中学肯定也学过二元一次方程和二元一次方程组。
ax+by=c
\\left\\{\\begin{array}{l}
a\_{1} x+b\_{1} y+C\_{1}=0 \\\\\\
a\_{2} x+b\_{2} y+C\_{2}=0
\\end{array}\\right.
在这样一个方程组中,a1
、a2
、b1
、b2
不能同时为0。当我们把二元一次方程组再扩展一下,变成多元一次方程组时,我们就能得到线性方程组的一般表达,即AX=B
。
\\left\\{\\begin{array}{l}
a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=b\_{1} \\\\\\
a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=b\_{2} \\\\\\
\\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\\\\\
a\_{m 1} x\_{1}+a\_{m 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{m n} x\_{n}=b\_{m}
\\end{array}\\right.
于是,这个线性方程组的所有系数就构成了一个m×n
的m
行n
列矩阵:
A=\\left\[\\begin{array}{cccc}
a\_{11} & a\_{12} & \\ldots & a\_{1 n} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22} & \\ldots & a\_{2 n} \\\\\\
\\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\\\
a\_{m 1} & a\_{m 2} & \\ldots & a\_{m n}
\\end{array}\\right\]
我们把A
称为该方程组的系数矩阵,而当我们把等式右边的常数b
放入矩阵后,就是下面这样:
\\widetilde{A}=\\left\[\\begin{array}{ccccc}
a\_{11} & a\_{12} & \\ldots & a\_{1 n} & b\_{1} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22} & \\ldots & a\_{2 n} & b\_{2} \\\\\\
\\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\\\
a\_{m 1} & a\_{m 2} & \\ldots & a\_{m n} & b\_{m}
\\end{array}\\right\]
这样我们就得到了A
矩阵的增广矩阵\\widetilde{A}
,可以表示为(A, B)
,这里的B
表示的是方程组常数项所构成的列向量,也就是m×1
的m
行1
列矩阵:
B=\\left|\\begin{array}{l}
b\_{1} \\\\\\
b\_{2} \\\\\\
\\cdots \\\\\\
b\_{m}
\\end{array}\\right|
如果设X
为n×1
的n
行1
列矩阵:
X=\\left|\\begin{array}{c}
x\_{1} \\\\\\
x\_{2} \\\\\\
\\cdots \\\\\\
x\_{n}
\\end{array}\\right|
那么线性方程组A
,就可以表示为AX=B
的矩阵形式。如果我们再换一种表示形式,设:a\_{1} ,a\_{2},\\ldots, a\_{n},\\beta
表示增广矩阵\\widetilde{A}
的列向量,则线性方程组A
又可表示为a\_{1} x\_{1}+a\_{2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n} x\_{n}=β
。
线性方程组的矩阵和向量形式都是线性方程组的其他表达形式。在工作中,你可以用它们来简化求解,甚至可以提升计算效率,就如之前提到的神经网络的隐藏层的输出计算、图形图像的三维空间变换。在数学中也是同样的,你可以经常运用它们来简化求解。具体线性方程组求解的内容比较多,我们下一节课再来详细讲解求解过程。
通过前面的讲解,我相信你对矩阵有了一定的了解,现在我们再回头来看看矩阵的定义吧。
矩阵的定义是:一个(m, n)
矩阵A
,是由m×n
个元素组成,m
和n
是实数,其中元素a\_{i j}, \\mathrm{i}=1, \\ldots, \\mathrm{m}, \\mathrm{j}=1, \\ldots, \\mathrm{n}
按m
行n
列的矩形排布方式后可以形成矩阵A
:
A=\\left\[\\begin{array}{cccc}
a\_{11} & a\_{12} & \\ldots & a\_{1 n} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22} & \\ldots & a\_{2 n} \\\\\\
\\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\\\
a\_{m 1} & a\_{m 2} & \\ldots & a\_{m n}
\\end{array}\\right\]
其中a\_{i j}
属于实数或复数,在我们的场景中是实数R
,按通常的惯例,(1, n)
矩阵叫做行,(m, 1)
矩阵叫做列,这些特殊的矩阵叫做行或列向量。
定义完矩阵后,我接着讲一个比较有趣的概念,矩阵转换(Matrix transformation)。矩阵转换经常被用在计算机图形图像的转换中,比如,一张彩色图片从RGB角度来说是三维的,如果要转换成灰度图片,也就是一维图片,那就要做矩阵转换。
我们来看一下矩阵转换的过程。设\\mathrm{R}^{m \\times n}
是实数矩阵(m, n)
的集合,A \\in \\mathrm{R}^{m \\times n}
可以表示成另一种形式 a \\in \\mathrm{R}^{mn}
。我们把矩阵的n
列堆叠成一个长向量后完成转换。这个转换也叫做reshape,其实就是重新调整原矩阵的行数、列数和维数,但是元素个数不变。
矩阵的运算
了解了矩阵的基本定义后,我们才能进入矩阵的运算环节,就是矩阵的加和乘。
加运算很简单,两个矩阵A \\in \\mathrm{R}^{m \\times n}
,B \\in \\mathrm{R}^{m \\times n}
的加运算其实就是矩阵各自元素的加。
A+B=\\left\[\\begin{array}{ccc}
a\_{11}+b\_{11} & \\ldots & a\_{1 n}+b\_{1 n} \\\\\\
\\cdot & & \\cdot \\\\\\
\\cdot & & \\cdot \\\\\\
\\cdot & & \\cdot \\\\\\
a\_{m 1}+b\_{m 1} & \\ldots & a\_{m n}+b\_{m n}
\\end{array}\\right\] \\in R^{m \\times n}
我推荐你使用NumPy的einsum来高效地做这类运算,因为它在速度和内存效率方面通常可以超越我们常见的array函数。
C= np.einsum('il, lj', A, B)
接下来,我们一起来看看矩阵的乘。这里你需要注意,矩阵的乘和通常意义上“数之间的乘”不同,矩阵的乘有多种类型,这里我讲三种最普遍,也是在各领域里用得最多的矩阵乘。
1.普通矩阵乘
普通矩阵乘是应用最广泛的矩阵乘,两个矩阵A \\in \\mathrm{R}^{m \\times n}
,B \\in \\mathrm{R}^{n \\times k}
,普通矩阵则乘可以表示为C=A B \\in R^{m \\times k}
,C
中元素的计算规则是矩阵A
、B
对应两两元素乘积之和。
c\_{i j}=\\sum\_{k=1}^{n} a\_{i k} b\_{k j}, i=1, \\ldots, m, j=1, \\ldots, l
我们举例来说明。C
的第一个元素c\_{11}=a\_{11} \\times b\_{11}+a\_{12} \\times b\_{21}+a\_{13} \\times b\_{31}=1 \\times 1+2 \\times 2+3 \\times 3
。
C=A B=\\left\[\\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\\\\\
4 & 5 & 6
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
1 & 4 \\\\\\
2 & 5 \\\\\\
3 & 6
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{lll}
1 \\times 1+2 \\times 2+3 \\times 3 & 1 \\times 4+2 \\times 5+3 \\times 6 \\\\\\
4 \\times 1+5 \\times 2+6 \\times 3 & 4 \\times 4+5 \\times 5+6 \\times 6
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{cc}
14 & 32 \\\\\\
32 & 77
\\end{array}\\right\]
这里需要特别注意的是,只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘,例如,一个n×k
矩阵A
和一个k×m
矩阵B
相乘,最后得出n×m
矩阵C
,而这里的k
就是相邻阶数。
AB=C
但反过来B和A相乘就不行了,因为相邻阶数m
不等于n
。
2.哈达玛积
哈达玛积理解起来就很简单了,就是矩阵各对应元素的乘积,c\_{i j}=a\_{i j} × b\_{i j}
。举个例子:
C=A^{\*} B=\\left\[\\begin{array}{ll}
1 & 2 \\\\\\
4 & 5
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
1 & 4 \\\\\\
2 & 5
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{cc}
1 \* 1 & 2 \* 4 \\\\\\
4 \* 2 & 5 \* 5
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{cc}
1 & 8 \\\\\\
8 & 25
\\end{array}\\right\]
哈达玛积其实在数学中不常看到,不过,在编程中哈达玛积非常有用,因为它可以用来同时计算多组数据的乘积,计算效率很高。
3.克罗内克积
克罗内克积是以德国数学家利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)的名字命名的。它可以应用在解线性矩阵方程和图像处理方面,当然从更时髦的角度说,它还能用在量子信息领域,我们也称之为直积或张量积。
和普通矩阵乘和哈达玛积不同的是,克罗内克积是两个任意大小矩阵间的运算,表示为A×B
,如果A
是一个m × n
的矩阵,而B
是一个p×q
的矩阵,克罗内克积则是一个mp×nq
的矩阵。
接下来我们需要定义一个在矩阵的乘法中起着特殊作用的矩阵,它就是单位矩阵。高等代数中,在求解相应的矩阵时,若添加单位矩阵,通过初等变换进行求解,往往可以使问题变得简单。按照百度百科的解释,单位矩阵如同数的乘法中的1
,这种矩阵就被称为单位矩阵。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线,也就是主对角线上的元素均为1
,除此以外全都为0
。
在线性代数中,大小为n
的单位矩阵就是在主对角线上均为1,而其他地方都是0
的n×n
的方阵,它用\\mathrm{I}\_{n}
表示,表达时为了方便可以忽略阶数,直接用\\mathrm{I}
来表示:
I\_{1}=\[1\], I\_{2}=\\left\[\\begin{array}{ll}
1 & 0 \\\\\\
0 & 1
\\end{array}\\right\], I\_{3}=\\left\[\\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\\\\\
0 & 1 & 0 \\\\\\
0 & 0 & 1
\\end{array}\\right\], …, I\_{n}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
1 & 0 & … & 0 \\\\\\
0 & 1 & … & 0 \\\\\\
. & . & … & . \\\\\\
. & . & . & . \\\\\\
0 & 0 & … & 1
\\end{array}\\right\]
矩阵的性质
在了解了矩阵加和乘,以及单位矩阵后,我们是时候来看一看矩阵的性质了。了解矩阵的性质是进行矩阵计算的前提,就像我们小时候学加减乘除四则运算法则时那样。所以,这块内容对你来说应该不难,你作为了解就好,重点是之后的运算。
1.结合律
任意实数m×n
矩阵A
,n×p
矩阵B
,p×q
矩阵C
之间相乘,满足结合律(AB)C=A(BC)
。这个很好理解,我就不多说了。
\\forall A \\in R^{m \\times n}, B \\in R^{n \\times p}, C \\in R^{p \\times q}:(A B) C=A(B C)
2.分配律
任意实数m×n
矩阵A
和B
,n×p
矩阵C
和D
之间相乘满足分配律(A+B)C=AC+BC
,A(C+D)=AC+AD
。
\\forall \\mathrm{A}, B \\in \\mathrm{R}^{m \\times n}, C, D \\in \\mathrm{R}^{n \\times p}:(A+B) C=A C+B C, A(C+D)=A C+A D
3.单位矩阵乘
任意实数m×n
矩阵A和单位矩阵之间的乘,等于它本身A
。
\\forall A \\in R^{m \\times n}: I\_{m} A=A I\_{n}=A
注意,这里的行和列不同,m \\neq n
意味着,根据矩阵乘,左乘和右乘单位矩阵也不同,也就是I\_{m} \\neq I\_{n}
。
逆矩阵与转置矩阵
了解矩阵基本概念、运算,以及性质后,我来讲一讲矩阵应用中的两个核心内容——逆矩阵和转置矩阵。逆矩阵和转置矩阵在实际应用中大有用处,比如:坐标系中的图形变换运算。我们先来看下什么是逆矩阵。
逆矩阵
下面这个图你应该非常熟悉了,图中表现的是数字的倒数,2
的倒数是\\frac{1}{2}
,\\frac{1}{2}
的倒数是2
。
其实逆矩阵也有着类似的概念,只不过是写法不一样,我们会把逆矩阵写成A^{-1}
。那为什么不是\\frac{1}{A}
呢?那是因为数字1无法被矩阵除。
我们知道,2
乘以它的倒数\\frac{1}{2}
等于1
。同样的道理,A
乘以它的逆矩阵A^{-1}
就等于单位矩阵,即\\mathrm{A} \\times A^{-1}=\\mathrm{I}
(I
即单位矩阵),反过来也一样,\\mathrm{A}^{-1} \\times A=\\mathrm{I}
。
为方便你理解,我用一个2 \\times 2
矩阵A
来解释一下逆矩阵的算法。首先,我们交换a\_{11}
和a\_{22}
的位置,然后在a\_{12}
和a\_{21}
前加上负号,最后除以行列式a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}
。
A^{-1}=\\left\[\\begin{array}{ll}
a\_{11} & a\_{12} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22}
\\end{array}\\right\]^{-1}=\\frac{1}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}\\left\[\\begin{array}{cc}
a\_{22} & -a\_{12} \\\\\\
\-a\_{21} & a\_{11}
\\end{array}\\right\]
那我们该如何验证这是不是正解呢?
方法其实很简单,记得刚才的公式就行,\\mathrm{A} \\times A^{-1}=\\mathrm{I}
。现在我们就代入公式来验证一下,A
和它的逆矩阵相乘,通过刚才的算法最终得出的结果是单位矩阵。
A \\times A^{-1}=\\left\[\\begin{array}{llll}
a\_{11} & a\_{12} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22}
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
a\_{11} & a\_{12} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22}
\\end{array}\\right\]^{-1}=\\left\[\\begin{array}{ll}
a\_{11} & a\_{12} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22}
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{lll}
\\frac{a\_{22}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} & \\frac{-a\_{12}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} \\\\\\
\\frac{-a\_{21}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} & \\frac{a\_{11}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{ll}
\\frac{a\_{11} \\times a\_{22}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}+\\frac{a\_{12} ×(-a\_{21})}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} & \\frac{a\_{11} ×(-a\_{12})}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}+\\frac{a\_{12} \\times a\_{11}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} \\\\\\
\\frac{a\_{21} \\times a\_{22}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}+\\frac{a\_{22} ×(-a\_{21})}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}} & \\frac{a\_{21} ×(-a\_{12})}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}+\\frac{a\_{22} × a\_{11}}{a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{lll}
1 & 0 \\\\\\
0 & 1
\\end{array}\\right\]
这里有一点需要特别说明,不是每一个矩阵都是可逆的。如果一个矩阵是可逆的,那这个矩阵我们叫做非奇异矩阵,如果一个矩阵是不可逆的,那这个矩阵我们就叫做奇异矩阵,而且如果一个矩阵可逆,那它的逆矩阵必然是唯一的。
还记得行列式a\_{11} a\_{22}-a\_{12} a\_{21}
吗?如果我们要证明矩阵是可逆的,只要证明行列式不等于零就行。更高阶的逆矩阵的算法也是一样的原理。
最后,我想通过一个现实生活中的案例来让你更多地了解逆矩阵。
一个旅游团由孩子和大人组成,去程他们一起做大巴,每个孩子的票价3
元,大人票价3.2
元,总共花费118.4
元。回程一起做火车,每个孩子的票价3.5
元,大人票价3.6
元,总共花费135.2
元。请问旅游团里有多少小孩和大人?
首先,我们设置一些矩阵,组成线性方程XA=B
。
要解X
,我们就要先计算A
的逆矩阵A^{-1}
:
A^{-1}=\\left\[\\begin{array}{cc}
3 & 3.5 \\\\\\
3.2 & 3.6
\\end{array}\\right\]^{-1}=\\frac{1}{3 \\times 3.6-3.5 \\times 3.2}\\left\[\\begin{array}{cc}
3.6 & -3.5 \\\\\\
\-3.2 & 3
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{cc}
\-9 & 8.75 \\\\\\
8 & -7.5
\\end{array}\\right\]
接下来再计算X=B A^{-1}
:
\\left\[\\begin{array}{ll}
x\_{1} & x\_{2}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{ll}
118.4 & 135.2
\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{cc}
\-9 & 8.75 \\\\\\
8 & -7.5
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{ll}
16 & 22
\\end{array}\\right\]
最终,我们得出这个旅游团有16个小孩和22个大人。
这也是解线性方程组的一种方法,类似这样的计算被广泛应用在各领域中,比如建筑工程、游戏和动画的3D效果上。虽然现在有很多程序包封装了这类数学计算的底层实现,但如果你能很好地理解这些概念,就可以为编程或算法调优打下坚实的基础。
Last but not least,方程次序很重要,也就是说,AX=B
和XA=B
的结果是不同的,这个一定要牢记哦!
转置矩阵
一般伴随逆矩阵之后出现的就是转置矩阵。在计算机图形图像处理中,如果要对一个物体进行旋转、平移、缩放等操作,就要对描述这个物体的所有矩阵进行运算,矩阵转置就是这类运算之一,而矩阵的转置在三维空间中的解释就相当于“得到关于某个点对称的三维立体”。所以,转置矩阵的定义很简单。
将矩阵的行列互换,得到的新矩阵就叫做转置矩阵(transpose)。转置矩阵的行列式不变。我们把m×n
矩阵A
的行列互换,得到转置矩阵A^{T}
。
A=\\left\[\\begin{array}{cccc}
a\_{11} & a\_{12} & \\ldots & a\_{1 n} \\\\\\
a\_{21} & a\_{22} & \\ldots & a\_{2 n} \\\\\\
\\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\\\
a\_{m 1} & a\_{m 2} & \\ldots & a\_{m n}
\\end{array}\\right\]
A^{T}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
a\_{11} & a\_{21} & \\ldots & a\_{m 1} \\\\\\
a\_{12} & a\_{22} & \\ldots & a\_{m 2} \\\\\\
\\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\\\
a\_{1 n} & a\_{2 n} & \\ldots & a\_{m n}
\\end{array}\\right\]
最后,为了方便你理解,我们再总结一下逆矩阵和转置矩阵的性质。你不用死记硬背,重在理解。
- 矩阵和自身逆矩阵相乘得道单位矩阵,
A A^{-1}=I=A^{-1} A
; A
B
两矩阵相乘的逆,等于逆矩阵B
和逆矩阵A
相乘,这里强调一下乘的顺序很重要,(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}
;AB
两矩阵相加后的逆矩阵,不等于各自逆矩阵的相加,(A+B)^{-1} \\neq A^{-1}+B^{-1}
;- 矩阵转置的转置还是它本身,
\\left(A^{T}\\right)^{\\mathrm{T}}=A
; AB
两矩阵相加后的转置矩阵,等于各自转置矩阵的相加,(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}
;AB
两矩阵相乘后的转置矩阵,等于转置矩阵B和转置矩阵A的相乘,这里再次强调乘的顺序很重要,(A B)^{T}=B^{T} A^{T}
。
本节小结
好了,到这里矩阵这一讲就结束了,最后我再带你总结一下前面讲解的内容。
今天的知识,你只需要知道矩阵是线性方程组的另一种表达,了解和掌握矩阵的定义和性质就足够了。当然,矩阵还有很多内容,但我认为掌握了我讲的这些内容后,就为以后的一些矩阵应用场景打下了坚实的数学基础,也是下一讲的解线性方程组的前置知识。
线性代数练习场
对于10维列向量x=\\left(x\_{1}, \\ldots, x\_{10}\\right)^{T}
, v=\\left(v\_{1}, \\ldots, v\_{10}\\right)^{T}
,如果要计算y=x x^{T}\\left(I+v v^{T}\\right) x
,其中I
是10阶单位矩阵。你会怎么做?
友情提醒,这里有多种方式解题。你能不能找到一个最简单的方法来解这道题?虽然结果很重要,但我想说的是过程更重要,而且往往解题过程不同,从计算机角度来说,运算的效率会有极大的不同。
欢迎你在留言区晒出你的运算过程和结果。如果有收获,也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。