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# 10 | 解析几何：为什么说它是向量从抽象到具象的表达？
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你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“解析几何”。
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前面所有章节我们都是围绕向量、矩阵，以及向量空间来展开的。但这一节课有点不一样，我要讲的是解析几何，它使得向量从抽象走向了具象，让向量具有了几何的含义。比如，计算向量的长度、向量之间的距离和角度，这在机器学习的主成分分析PCA中是非常有用的。
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## 范数
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讲解析几何我们得从“范数”开始讲起。
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因为很多人看到几何向量的第一反应就是，它是从原点开始的有向线段，并且向量的长度是这个有向线段的终端和起始端之间的距离。而范数，就是被用来度量某个向量空间或矩阵中的每个向量的长度或大小的。
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现在，我们先来看一下范数的数学定义：一个向量空间$V$上的一个范数就是一个函数，它计算$V$中的每一个向量$x$的长度，用符号来表示的话就是：$\\|x\\| \\in R$，它满足三种性质：
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1. 正齐次性： 如果输入参数扩大正$λ$倍，其对应的函数也扩正大倍。设$λ \\in R$，$x \\in V$，$\\|\\lambda x\\|=|\\lambda|\\|x\\|$；
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2. 次可加性：类似三角不等式，两边之和大于第三边。设$x,y \\in V$，$\\|x+y\\| \\leq\\|x\\|+\\|y\\|$；
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3. 正定性：向量$x$的长度一定大于等于零。$\\|x\\| \\geq 0$。
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看到这里，你也许会问，范数似乎和以前老师教的**向量的模**一样啊。先别急，它们还真有那么一点关系，你听我慢慢道来。由于范数是度量某个向量空间或矩阵中的每个向量的长度或大小的，所以它和向量空间维度是有关系的，于是，我们可以把范数写成这样的模式来区分不同维度的大小计算：$L\_{1}, L\_{2}, \\ldots, L\_{\\infty}$。
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* $L\_{1}$范数：曼哈顿范数，也叫曼哈顿距离，设$x \\in R^{n}$，得到下面这个表达式。
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$$
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\\|x\\|\_{1}=\\sum\_{i=1}^{n}\\left|x\_{i}\\right|
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$$
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* $L\_{2}$范数：欧式范数，也叫欧式距离，设$x \\in R^{n}$，得到下面这个表达式。
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$$
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\\|x\\|\_{2}=\\sqrt{\\sum\_{i=1}^{n} x\_{i}^{2}}
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$$
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* $L\_{\\infty}$范数：切比雪夫范数，也叫切比雪夫距离，设$x \\in R^{n}$，得到下面这个表达式。
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$$
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\\|x\\|\_{\\infty}=\\max \\left(\\left|x\_{1}\\right|,\\left|x\_{2}\\right|, \\ldots,\\left|x\_{n}\\right|\\right)
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$$
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我们发现，向量的模和$L\_{2}$范数的计算方式都是一样的，都表示的是欧氏距离，所以，我们可以简单地认为向量的模等于$L\_{2}$范数。而其他的范数模式和向量的模则没有任何关系。
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## 内积
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学习解析几何时，我们必须掌握的第二个概念就是内积。
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如果说范数是模式，是用来描述向量长度或大小的概念性表达，那么内积可以让我们很直观地了解一个向量的长度、两个向量之间的距离和角度，它的一个主要目的就是判断向量之间是否是正交的，正交这个概念我们会在后面讲解。
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### 点积
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我们从特殊到一般，先来看点积，它和第三篇矩阵中说的“普通矩阵乘”形式一样，点积是特殊的内积，为什么说它特殊呢？那是因为在表示两个向量之间的距离时，它就是大家熟悉的欧式距离，点积可以表示成这样的形式：
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$$
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x^{T} y=\\sum\_{i=1}^{n} x\_{i} y\_{i}
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$$
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### 其他内积
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除了点积外，我们再来看另一个不同的内积：设内积空间$V$是$R^{2}$，定义内积$\\langle x, y\\rangle=x\_{1} y\_{1}-(x\_{1} y\_{2}+x\_{2} y\_{1})+2 x\_{2} y\_{2}$，一看便知这个和点积完全不同。
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### 内积空间
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最后，我们再来看一般内积和内积空间。因为解析几何关注的是向量的长度、两个向量之间的距离和角度，所以，我们要在原来向量空间上加一个额外的结构，这个额外结构就是内积，而加了内积的向量空间，我们就叫做内积空间。
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为了表达方便，我们可以把内积写成$\\langle\\ ·,· \\rangle$这样的形式，那么内积空间$V$可以被表示成这样：$(V,\\langle\\ ·,· \\rangle)$。这时，如果一般内积由点积来表达，那这个向量空间就变成了更具体的欧式向量空间。
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接下来看下内积空间有什么性质？我们定义一个内积空间V和它的元素$x$、$y$、$z$，以及一个$c \\in R$：
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* 满足对称性：$x$和$y$的内积等于$y$和$x$的内积，$\\langle x, y\\rangle=\\langle y, x\\rangle$；
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* 满足线性性：$x$和$y+cz$的内积等于，$x$和$y$的内积，与$x$和$z$的内积乘以$c$后的和，
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$\\langle x, y+c z\\rangle=\\langle x, y\\rangle+c\\langle x, z\\rangle$；
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* 满足正定性：$x$和$y$的内积大于等于零，$\\langle x, y\\rangle \\geq 0$。
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## 对称正定矩阵
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内积还定义了一类矩阵，这类矩阵在机器学习中很重要，因为它可以被用来判定多元函数极值，而在深度学习中，它更是被用来获取最小化损失函数，我们把这类矩阵叫做对称正定矩阵。
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对称正定矩阵的定义是：如果一个对称矩阵$A$属于方阵$R^{n×n}$，对任意非零向量$x$，都有$x^{T} A x>0$，那么$A$就是对称正定矩阵。
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我们来看两个例子，判断它们是不是对称正定矩阵。
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第一个例子，请你回答下面这个矩阵是对称正定矩阵吗？
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{ll}
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9 & 6 \\\\\\
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6 & 5
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\\end{array}\\right\]
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$$
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答案：是的，它是对称正定矩阵。因为$x^{T} A x>0$。
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$$
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x^{T} A x=\\left\[\\begin{array}{ll}
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x\_{1} & x\_{2}
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\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
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9 & 6 \\\\\\
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6 & 5
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\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{l}
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x\_{1} \\\\\\
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x\_{2}
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\\end{array}\\right\]=(3 x\_{1}+2 x\_{2})^{2}+x\_{2}^{2}>0
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$$
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第二个例子，请你看下面这个矩阵是对称正定矩阵吗？
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{ll}
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9 & 6 \\\\\\
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6 & 3
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\\end{array}\\right\]
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$$
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答案：不是的，它只是对称矩阵。因为$x^{T} A x$可能小于0。
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$$
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x^{T} A x=\\left\[\\begin{array}{ll}
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x\_{1} & x\_{2}
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\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{ll}
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9 & 6 \\\\\\
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6 & 3
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\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{l}
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x\_{1} \\\\\\
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x\_{2}
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\\end{array}\\right\]=(3 x\_{1}+2 x\_{2})^{2}-x\_{2}^{2}
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$$
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## 长度、距离和角度
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前面我们通过范数讲了向量的长度，但从内积的角度来看，我们发现，内积和范数之间有着千丝万缕的关系。我们来看看下面这个等式。
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$$
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\\|x\\|=\\sqrt{\\langle x, x\\rangle}
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$$
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从这个等式我们发现，内积可以用来产生范数，确实是这样。不过，不是每一个范数都能被一个内积产生的，比如：曼哈顿范数。接下来，我们还是来关注能由内积产生的范数上，从不同的角度来看看几何上的长度、距离和角度的概念。
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我们先用内积来计算一个**向量的长度**，比如：向量$x=\[\\begin{array}{ll}1 & 1\\end{array}\]^{T}$，我们可以使用点积来计算，计算后得出$x$的范数是$\\sqrt{2}$，具体计算过程是这样的：$\\|x\\|=\\sqrt{x^{T} x}=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{2}$。
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接着，我们再来看一下**向量之间的距离**，一个内积空间$V$，$(V,\\langle\\ ·,· \\rangle)$，$x$和$y$是它的两个向量，那么$x$和$y$之间的距离就可以表示成：$d(x, y)=\\|x-y\\|=\\sqrt{\\langle x-y, x-y\\rangle}$。
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如果用点积来计算$x$和$y$之间的距离，那这个距离就叫做欧式距离。
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再接着，来看看两个**向量之间的角度**。我们使用柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）来表示内积空间中两个向量$x$和$y$之间的角度：$a$。
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$$
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\-1 \\leq \\frac{\\langle x, y\\rangle}{\\|x\\|\\|y\\|} \\leq 1
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$$
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取值是从$-1$到$1$之间，那么角度就是从$0$到$π$之间，我们用$cos$来表示就是：
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$$
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\\cos (a)=\\frac{\\langle x, y\\rangle}{\\|x\\|\\|y\\|}
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$$
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其中$a$就是角度，$a$的角度取值是$0$到$π$之间。我们很容易就能发现，其实两个向量之间的角度，就是告诉了我们两个向量之间方向的相似性。例如：$x$和$y=4x$，使用点积来计算它们之间的角度是$0$，也就是说它们的方向是一样的，$y$只是对$x$扩大了$4$倍而已。
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现在，我们通过一个例子，再来更清楚地看下两个向量之间角度的计算，设$x=\[\\begin{array}{ll}1 & 1\\end{array}\]^{T}$，$y=\[\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\]^{T}$，使用点积来计算，我们得出：
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$$
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\\cos (a)=\\frac{\\langle x, y\\rangle}{\\sqrt{\\langle x, x\\rangle\\langle y, y\\rangle}}=\\frac{x^{T} y}{\\sqrt{x^{T} x y^{T} y}}=\\frac{3}{\\sqrt{10}}
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$$
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那么，这两个向量之间的角度如下。
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\\arccos \\left(\\frac{3}{\\sqrt{10}}\\right) \\approx 0.32
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我们可以用图来更直观地表达一下。
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于是，我们最后可以引出一个概念，也就是我们在一开始提到的**正交性**。如果两个向量$x$和$y$内积等于$0$，$\\langle x, y\\rangle=0$，那么$x$和$y$是正交的，这可以写成：$x \\perp y$。再如果，$x$和$y$的范数都等于$1$，$\\|x\\|=\\|y\\|=1$，也就是说，如果它们都是单位向量，那么$x$和$y$就是标准正交的。
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我们用图来更直观地表达一下。
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## 正交投影
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在理论讲解之后，我们要来了解一下解析几何在实践中经常运用的概念——正交投影，它是一种重要的线性变换，在图形图像、编码理论、统计和机器学习中扮演了重要角色。
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在机器学习中，数据一般都是高维的。众所周知，高维数据是很难来分析和可视化的。而且，不是所有的高维数据都是有用的，可能只有一些数据包含了大部分的重要信息。
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正交投影就是高维到低维的数据投影，在[第5节课线性空间](https://time.geekbang.org/column/article/270329)中，我简单介绍了高维数据投影到低维后，我们就能在低维空间更多地了解数据集、提炼相关模式。而在机器学习中，最普遍的降维算法——PCA主成分分析，就是利用了降维的观点。
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接下来，我开始讲解正交投影，在给出定义之前，先从一张图来了解会更直观。
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图中的蓝点是原二维数据，黄点是它们的正交投影。所以，实际降维后，在一维空间中就形成了这条黑线表示，它近似地表达了原来二维数据表示的信息。
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现在我们可以来看一下投影的定义：$V$是一个向量空间，$U$是$V$的一个向量子空间，一个从$V$到$U$的线性映射$\\Phi$是一个投影，如果它满足：$\\Phi^{2}=\\Phi \\circ \\Phi=\\Phi$。因为线性映射能够被变换矩阵表示，所以，这个定义同样适用于一个特殊类型变换矩阵：投影矩阵$P\_{\\Phi}$，它也满足：$P\_{\\Phi}^{2}=P\_{\\Phi}$。
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### 投影到一维子空间上（线）
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接下来，我们来看看如何投影到一维子空间，也就是把内积空间的向量正交投影到子空间，这里我们使用点积作为内积。
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假设有一条通过原点的线，这条线是由基向量$b$产生的一维子空间$U$，当我们把一个向量$x$投影到$U$时，需要寻找另一个最靠近$x$的向量$\\Phi\_{U}(x)$。还是老样子，我们通过图来看一下。
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首先，投影$\\Phi\_{U}(x)$靠近$x$，也就是要找出$x$和$\\Phi\_{U}(x)$之间的$\\left\\|x-\\Phi\_{U}(x)\\right\\|$最小距离，从几何角度来说，就是线段$\\Phi\_{U}(x)-x$和$b$正交，满足等式：$\\left\\langle\\Phi\_{U}(x)-x, b\\right\\rangle=0$。其次，投影$\\Phi\_{U}(x)$必须是$U$的一个元素，也就是，基向量$b$的一个乘来产生$U$，$\\Phi\_{U}(x)=λb$。
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于是，我们可以通过三个步骤来分别得到$λ$、投影$\\Phi\_{U}(x)$和投影矩阵$P\_{\\Phi}$，来把任意$x$映射到子空间$U$上。
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第一步，计算$λ$，通过正交条件产生这样的等式：
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$\\left\\langle x-\\Phi\_{U}(x), b\\right\\rangle=0$。因为$\\Phi\_{U}(x)=λb$，所以它可以转变成：$\\langle x-\\lambda b, b\\rangle=0$。
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利用内积的双线性：$\\langle x, b\\rangle-\\lambda\\langle b, b\\rangle=0$，我们得到：
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$$
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\\lambda=\\frac{\\langle x, b\\rangle}{\\langle b, b\\rangle}=\\frac{\\langle b, x\\rangle}{\\|b\\|^{2}}
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然后，我们通过点积得到：
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$$
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\\lambda=\\frac{b^{T} x}{\\|b\\|^{2}}
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$$
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如果$\\|b\\|=1$，那$λ$就等于$b^{T}x$。
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接着第二步，是计算投影点$\\Phi\_{U}(x)$。从$\\Phi\_{U}(x)=λb$，我们得到：
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$$
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\\Phi\_{U}(x)=\\lambda b=\\frac{\\langle x, b\\rangle}{\\|b\\|^{2}} b=\\frac{b^{T} x}{\\|b\\|^{2}} b
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$$
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通过点积来计算，我们就得到了$\\Phi\_{U}(x)$的长度：
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$$
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\\left\\|\\Phi\_{U}(x)\\right\\|=\\frac{\\left|b^{T} x\\right|}{\\|b\\|^{2}}\\|b\\|=|\\cos (a)|\\|x\\|\\|b\\| \\frac{\\|b\\|}{\\|b\\|^{2}}=\\mid \\cos (a)\\|x\\|
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$$
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这里的$a$，是$x$和$b$之间的夹角。
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最后第三步，是计算投影矩阵$P\_{\\Phi}$，投影矩阵是一个线性映射。所以，我们可以得到：$\\Phi\_{U}(x)=P\_{\\Phi}x$，通过$\\Phi\_{U}(x)=λb$，我们可以得到：
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$$
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\\Phi\_{U}(x)=\\lambda b=b \\lambda=b \\frac{b^{T} x}{\\|b\\|^{2}}=\\frac{b b^{T}}{\\|b\\|^{2}} x
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$$
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这里，我们立即可以得到投影矩阵$P\_{\\Phi}$的计算等式：
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$$
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P\_{\\Phi}=\\frac{b b^{T}}{\\|b\\|^{2}}
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$$
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## 本节小结
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这一节课覆盖的知识点有点多，因为要把解析几何的知识点，浓缩到核心的几个点来讲解是一项艰巨的任务。不过不要怕，前面的几个知识点都是为这一节的重点“正交投影”来铺垫的。范数，被用来度量某个向量空间或矩阵中的每个向量的长度或大小，而内积让我们很直观地了解一个向量的长度、两个向量之间的距离和角度，以及判断向量之间是否是正交的。
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所以，希望你能掌握范数和内积的理论知识，并把它和正交投影结合，运用在一些实践应用场景中，比如：3D图形图像的坐标变换、数据压缩，以及机器学习的降维。
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## 线性代数练习场
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请用之前学到的正交投影的投影矩阵算法，来计算一条线上的投影矩阵$P\_{\\Phi}$。
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这条线通过原点，由基$b=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 2\\end{array}\\right\]^{T}$产生，$P\_{\\Phi}$计算后，再通过一个$x$来验证一下它是否在$b$产生的子空间中，我们取$x=\\left\[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\\end{array}\\right\]^{T}$。
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欢迎在留言区晒出你的运算结果，我会及时回复。同时，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友，一起讨论、学习。
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