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# 04 | 解线性方程组：为什么用矩阵求解的效率这么高？
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你好，我是朱维刚。欢迎你跟我一起重学线性代数！
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在上一节课中，我讲解了线性方程组的另一种表达——矩阵。那么今天，我们就来讲解一下如何使用矩阵来解线性方程组，也就是如何求线性方程组的特殊解和通用解。
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简单的线性方程组，我们当然可以运用初中学过的知识来求解，那复杂的呢？硬来几乎是不可能的了，一方面是因为人工计算的错误率很高，另一方面，即使我们使用计算机，用类似for或while循环来实现算法，它的计算效率也是极低的。你需要用更科学的方式、方法，从另一个角度来看待和求解线性方程组。
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而矩阵就是为我们打开高效之门的钥匙，从计算机科学的角度来说，使用矩阵的运算效率实在是高太多了，因为它可以利用计算机的并行能力，甚至在一些迭代法中，还能实现分布式并行计算（迭代法会在后面“应用篇”中讲解）。
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## 线性方程组解的寻找
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现在，就让我们开始去寻找线性方程组的解。在之前的课程中，我们已经引入了线性方程组的一般表达，你可以看看下面的例子。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{l}
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a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=b\_{1} \\\\\\
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a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=b\_{2} \\\\\\
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\\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\\\\\
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a\_{m 1} x\_{1}+a\_{m 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{m n} x\_{n}=b\_{m}
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\\end{array}\\right.
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$$
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其中，$a\_{ij}$和 $b\_{i}$ 属于实数，而且是已知常数，而$x\_{j}$是未知变量，$i$和$j$的取值范围分别是：$i=1,…,m$；$j=1,…,n$ 。如果我们用矩阵的简单表达方式来看的话，就是$Ax=B$。
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要搞清楚概念，我们还是要多看具体的例子。让我们先来看一个实例，来加深一下理解。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & 8 & -4 \\\\\\
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0 & 1 & 2 & 12
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\\end{array}\\right\]\\left\[\\begin{array}{c}
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x\_{1} \\\\\\
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x\_{2} \\\\\\
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x\_{3} \\\\\\
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x\_{4}
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\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
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42 \\\\\\
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8
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\\end{array}\\right\]
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$$
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很明显，这是一个矩阵表达方式。它的一般线性方程组表达方式是中学的基础知识，你应该很熟悉了。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{l}
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1 \\times x\_{1}+0 \\times x\_{2}+8 \\times x\_{3}+(-4) \\times x\_{4}=42 \\\\\\
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0 \\times x\_{1}+1 \\times x\_{2}+2 \\times x\_{3}+12 \\times x\_{4}=8
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\\end{array}\\right.
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$$
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在这个一般线性方程组中，有四个未知变量，但只有两个等式，这就意味着这个线性方程组有无穷多个解（这个是中学数学的范畴）。通过细心观察，我们可以发现第一列和第二列都是由0和1组成的，因此你很容易就能发现其中一个解。
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$$
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42\\left\[\\begin{array}{l}
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1 \\\\\\
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0
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\\end{array}\\right\]+8\\left\[\\begin{array}{l}
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0 \\\\\\
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||
1
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\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
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42 \\\\\\
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8
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\\end{array}\\right\]
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$$
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这个解就是$\\left\[\\begin{array}{llll}42 & 8 & 0 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$，也就是说四个未知变量分别为$42$、$8$、$0$、$0$。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{l}
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x\_{1}=42 \\\\\\
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x\_{2}=8 \\\\\\
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x\_{3}=0 \\\\\\
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x\_{4}=0
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\\end{array}\\right.
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$$
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这个解也叫做特殊解。我们刚才已经说过，这个线性方程组有无穷多个解，那我们确实需要一个聪明的方式来找到其他的解，最直观的方式就是通过矩阵的列来构造0。例如，对于第三列来说，我们可以使用第一和第二列的组合形式来表达。
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$$
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8\\left\[\\begin{array}{l}
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1 \\\\\\
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0
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\\end{array}\\right\]+2\\left\[\\begin{array}{l}
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||
0 \\\\\\
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||
1
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||
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
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||
8 \\\\\\
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||
2
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\\end{array}\\right\]
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$$
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通过计算$Ax=0$，我们得出解$\\left\[\\begin{array}{llll}8 & 2 & -1 & 0\\end{array}\\right\]^{T}$。而事实上，这个解可以乘以任何实数$λ\_{1}$，使得$Ax=0$成立。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & 8 & -4 \\\\\\
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0 & 1 & 2 & 12
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\\end{array}\\right\]
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\\left(\\begin{array}{l}
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\\lambda\_{1}\\left\[\\begin{array}{l}
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||
8 \\\\\\
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||
2 \\\\\\
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\-1 \\\\\\
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||
0
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\\end{array}\\right\]
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\\end{array}\\right)=0
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$$
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同理，对于第四列来说，我们可以使用第一和第二列的组合形式来表达，得出另一套解，使得$Ax=0$。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & 8 & -4 \\\\\\
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0 & 1 & 2 & 12
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\\end{array}\\right\]
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\\left(\\begin{array}{l}
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\\lambda\_{2}\\left\[\\begin{array}{l}
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||
\-4 \\\\\\
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12 \\\\\\
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||
0 \\\\\\
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||
\-1
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\\end{array}\\right\]
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\\end{array}\\right)=0
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$$
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现在，我们可以把之前的特殊解与刚得出的两套解相组合，得出最终解，这个解也就是我们所说的通用解了。
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$$
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x \\in R^{4}: x=\\left\[\\begin{array}{c}
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42 \\\\\\
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8 \\\\\\
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0 \\\\\\
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||
0
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\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{1}\\left\[\\begin{array}{c}
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||
8 \\\\\\
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||
2 \\\\\\
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\-1 \\\\\\
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||
0
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\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{2}\\left\[\\begin{array}{c}
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||
\-4 \\\\\\
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12 \\\\\\
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||
0 \\\\\\
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\-1
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\\end{array}\\right\], \\lambda\_{1}, \\lambda\_{2} \\in R
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$$
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我来总结一下寻找通用解的过程，这个过程分为三步：
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1. 我们要寻找一个特殊解，使得$Ax=b$；
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2. 找到$Ax=0$的所有解；
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3. 组合第一和第二步的解形成通用解。
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看到了这里，你有没有发现有些奇怪呢？或者说，有没有觉得哪里有点别扭？是的，好像有点太顺利了。那是因为这个线性方程组比较特别，第一列和第二列是由1和0组成的。所以，我们只通过观察就能得出特殊解和通用解。
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然而，你不可能每次都行大运，就像我们在现实中碰到的这类线性方程组，一般都比这个复杂得多。不过不要慌，有一个算法可以来帮助我们转换任意线性方程组，形成类似的特殊形式，这个算法叫做**高斯消元法**。
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高斯消元法的核心就是**线性方程组的初等变换**，于是，我们可以通过高斯消元法，得到围绕初等变换形成的简单矩阵表达形式，接下来我们就可以运用之前的三个步骤来寻找通用解了。
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## 初等变换的一般形式
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既然高斯消元法的核心就是线性方程组的初等变换，那为了方便你使用高斯消元法，我就有必要来讲一讲初等变换的一般形式有哪些：
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1. 两个等式的交换，也就是矩阵行交换；
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2. 一个等式，或者说矩阵行乘以一个实数常量；
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3. 两个等式相加，或者说矩阵的两行相加。
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道理是这样的道理，那我们通过一个例子来看看，究竟该怎么做线性方程组的初等变换。假设a属于实数，现在我们试着来寻找下面这个线性方程组的所有解。我把这个过程细细地拆解为11个步骤，建议你仔细看过并理解后，再进入下一阶段的学习。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{c}
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\-2 x\_{1}+4 x\_{2}-2 x\_{3}-x\_{4}+4 x\_{5}=-3 \\\\\\
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4 x\_{1}-8 x\_{2}+3 x\_{3}-3 x\_{4}+x\_{5}=2 \\\\\\
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x\_{1}-2 x\_{2}+x\_{3}-x\_{4}+x\_{5}=0 \\\\\\
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x\_{1}-2 x\_{2}-3 x\_{4}+4 x\_{5}=a
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\\end{array}\\right.
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$$
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1.我们要把这个线性方程组转换成矩阵的表达形式，$Ax=b$。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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\-2 & 4 & -2 & -1 & 4 & \\mid & -3 \\\\\\
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4 & -8 & 3 & -3 & 1 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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1 & -2 & 0 & -3 & 4 & \\mid & a
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\\end{array}\\right\]
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$$
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2.接着我们来交换第一和第三行。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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||
4 & -8 & 3 & -3 & 1 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
\-2 & 4 & -2 & -1 & 4 & \\mid & -3 \\\\\\
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1 & -2 & 0 & -3 & 4 & \\mid & a
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\\end{array}\\right\]
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$$
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注意，你知道我们为什么选择第一行和第三行交换吗？其实，这是为了便于计算。而具体交换哪一行是有个小技巧的，如果某行的第一个元素有1，我们就可以把这一行移到第一行。
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3.我们以第一行为基础，开始执行乘和加变换，将第一行乘以-4的结果和第二行相加，从而获得了下面这样的结果。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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||
1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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||
0 & 0 & -1 & 1 & -3 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
\-2 & 4 & -2 & -1 & 4 & \\mid & -3 \\\\\\
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||
1 & -2 & 0 & -3 & 4 & \\mid & a
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||
\\end{array}\\right\]
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$$
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4.然后，我们用同样的方法，将第一行乘以2的结果，再和第三行相加，得到了下面这样的结果。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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||
1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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||
0 & 0 & -1 & 1 & -3 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
0 & 0 & 0 & -3 & 6 & \\mid & -3 \\\\\\
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||
1 & -2 & 0 & -3 & 4 & \\mid & a
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||
\\end{array}\\right\]
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$$
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5.以此类推，我们将第一行乘以-1的结果，和第四行相加，继续获得新矩阵。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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0 & 0 & -1 & 1 & -3 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
0 & 0 & 0 & -3 & 6 & \\mid & -3 \\\\\\
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0 & 0 & -1 & -2 & 3 & \\mid & a
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||
\\end{array}\\right\]
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||
$$
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||
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||
6.将第二行乘以-1的结果，和第四行相加，得到下面这样的结果。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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0 & 0 & -1 & 1 & -3 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
0 & 0 & 0 & -3 & 6 & \\mid & -3 \\\\\\
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0 & 0 & 0 & -3 & 6 & \\mid & a-2
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\\end{array}\\right\]
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$$
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||
7.将第三行乘以-1的结果，和第四行相加。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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||
0 & 0 & -1 & 1 & -3 & \\mid & 2 \\\\\\
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||
0 & 0 & 0 & -3 & 6 & \\mid & -3 \\\\\\
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\mid & a+1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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8.第二行乘以-1，第三行乘以$-\\frac{1}{3}$。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccc}
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1 & -2 & 1 & -1 & 1 & \\mid & 0 \\\\\\
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0 & 0 & 1 & -1 & 3 & \\mid & -2 \\\\\\
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0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \\mid & 1 \\\\\\
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\mid & a+1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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9.现在，这个矩阵就是一个简单形式的矩阵，也叫做**行阶梯形矩阵**（Row-Echelon Form，REF）。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{r}
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x\_{1}-2 x\_{2}+x\_{3}-x\_{4}+x\_{5}=0 \\\\\\
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x\_{3}-x\_{4}+3 x\_{5}=-2 \\\\\\
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x\_{4}-2 x\_{5}=1 \\\\\\
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0=a+1
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\\end{array}\\right.
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$$
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一个矩阵成为行阶梯形矩阵需满足两个条件：
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* 如果它既有零行，又有非零行，则零行在下，非零行在上；
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* 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升，正如之前的这个矩阵，列号自上而下是1、3、4，是严格单调上升的。
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10.你可以看出，只有在$a=-1$的情况下，这个线性方程组才有解，特殊解是$\\left\[\\begin{array}{lllll}2 & 0 & -1 & 1 & 0\\end{array}\\right\]^{\\mathrm{T}}$。
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11.最后，我们得出这个线性方程组的通用解，如下图所示。
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$$
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x \\in R^{5}: x=\\left\[\\begin{array}{c}
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2 \\\\\\
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0 \\\\\\
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\-1 \\\\\\
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||
1 \\\\\\
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||
0
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\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{1}\\left\[\\begin{array}{l}
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||
2 \\\\\\
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1 \\\\\\
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0 \\\\\\
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0 \\\\\\
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||
0
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||
\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{2}\\left\[\\begin{array}{c}
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2 \\\\\\
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||
0 \\\\\\
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||
\-1 \\\\\\
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2 \\\\\\
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||
1
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||
\\end{array}\\right\], \\lambda\_{1}, \\lambda\_{2} \\in R
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$$
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注意，这里有一个概念很重要，那就是**主元**。主元就是在矩阵消元过程中，每列要保留的非零元素，我们可以用它把该列其他元素消去。在阶梯型矩阵中，每个非零行第一个非零元素就是主元。
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拿之前的第8步计算后的结果来举例，第一行的第一个元素1就是主元，第二行第三个元素1是主元，第三行的第四个元素1也是主元。
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对应行阶梯形矩阵主元的变量叫做基本变量，而其他的变量叫做自由变量，这个例子中，$x\_{1}$、$x\_{3}$、$x\_{4}$就是基本变量，$x\_{2}$、$x\_{5}$则是自由变量。使用行阶梯形矩阵能更简单地得出特殊解，所以我们可以使用主元列来表达线性方程组：
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$$
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b=\\sum\_{i=1}^{P} \\lambda\_{i} \\mathrm{p}\_{i}, i=1, \\ldots, P
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$$
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在之前的例子中，我们使用主元列来表达成下面这样的矩阵形式：
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$$
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\\lambda\_{1}\\left\[\\begin{array}{l}
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1 \\\\\\
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0 \\\\\\
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||
0 \\\\\\
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||
0
|
||
\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{2}\\left\[\\begin{array}{l}
|
||
1 \\\\\\
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||
1 \\\\\\
|
||
0 \\\\\\
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||
0
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||
\\end{array}\\right\]+\\lambda\_{3}\\left\[\\begin{array}{c}
|
||
\-1 \\\\\\
|
||
\-1 \\\\\\
|
||
1 \\\\\\
|
||
0
|
||
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
|
||
0 \\\\\\
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||
\-2 \\\\\\
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||
1 \\\\\\
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||
0
|
||
\\end{array}\\right\]
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$$
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于是，我们最终得出 $λ\_{3}=1$，$λ\_{2}=-1$，$λ\_{1}=2$ ，分别对应于$x\_{4}$、$x\_{3}$、$x\_{1}$。不要忘了，对于非主元列，我们已经隐式地把系数设置成了$0$，所以这个线性方程组的特殊解是$x=\\left\[\\begin{array}{lllll}2 & 0 & -1 & 1 & 0\\end{array}\\right\]^{\\mathrm{T}}$。
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## 简化行阶梯形矩阵
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这里我们再引入一个概念，简化行阶梯形矩阵，因为引入简化行阶梯形矩阵对于线性方程组的求解来说会更简单。其实，高斯消元法的核心就是通过初等变换，把线性方程组转换成简化行阶梯形矩阵。那么一个方程组是简化行阶梯形矩阵，必须满足哪几个条件呢？
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1. 这个方程组必须是行阶梯形矩阵；
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2. 方程组的每一个主元都是1；
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3. 主元在它的列中是唯一的非0元素。
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现在，我们再通过一个实例，看看该如何通过高斯消元法计算一个矩阵的逆矩阵。设矩阵$A$如下图：
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$$
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A=\\left\[\\begin{array}{llll}
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1 & 0 & 2 & 0 \\\\\\
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1 & 1 & 0 & 0 \\\\\\
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||
1 & 2 & 0 & 1 \\\\\\
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||
1 & 1 & 1 & 1
|
||
\\end{array}\\right\]
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||
$$
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||
首先，我们形成$A$的增广矩阵（具体方法参见上一节）。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{lllllllll}
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||
1 & 0 & 2 & 0 & \\mid & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\
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||
1 & 1 & 0 & 0 & \\mid & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\\
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||
1 & 2 & 0 & 1 & \\mid & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\\
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||
1 & 1 & 1 & 1 & \\mid & 0 & 0 & 0 & 1
|
||
\\end{array}\\right\]
|
||
$$
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||
其次，使用我们前面刚刚讲过的高斯消元法计算出简化行阶梯形矩阵。
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$$
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\\left\[\\begin{array}{ccccccccc}
|
||
1 & 0 & 0 & 0 & \\mid & -1 & 2 & -2 & 2 \\\\\\
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||
0 & 1 & 0 & 0 & \\mid & 1 & -1 & 2 & -2 \\\\\\
|
||
0 & 0 & 1 & 0 & \\mid & 1 & -1 & 1 & -1 \\\\\\
|
||
0 & 0 & 0 & 1 & \\mid & -1 & 0 & -1 & 2
|
||
\\end{array}\\right\]
|
||
$$
|
||
|
||
最后，我们就得到$A$的逆矩阵，如下图所示。
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||
$$
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||
A^{-1}=\\left\[\\begin{array}{cccc}
|
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\-1 & 2 & -2 & 2 \\\\\\
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||
1 & -1 & 2 & -2 \\\\\\
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||
1 & -1 & 1 & -1 \\\\\\
|
||
\-1 & 0 & -1 & 2
|
||
\\end{array}\\right\]
|
||
$$
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||
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接下来，我们只要使用公式$A A^{-1}=I$ 就可以对结果进行验证了。
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||
## 更多解线性方程组的方法
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到目前为止，相信你已经了解了如何解线性方程组，包括特殊解和通用解，以及如何使用高斯消元法来解线性方程组。最后，我再总结一些解方法来作为你的知识扩展。
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第一个方法，假设一个矩阵A是方阵（行数与列数相等的矩阵），并且可逆，$Ax=B$ ，那$x$解就可以写成$x=A^{-1}B$，但如果$A$矩阵不可逆，也不是方阵，那我们就只能使用下面这个变换来求$x$解了。
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$$Ax=B⇔A^{T}Ax=A^{T}B⇔x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B$$
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其中，矩阵A的转置矩阵和A相乘的逆矩阵，再和A的转置矩阵相乘，我们把它叫做穆尔彭罗斯伪逆矩阵（Moore-Penrose pseudo inverse），简称伪逆。
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$$(A^{T}A)^{-1}A^{T}$$
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这个方法有两个弊端：第一，矩阵乘和逆矩阵的计算太复杂；第二，数值精确度不高。因此，从实践角度来说，我一般不推荐使用。
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第二个方法是高斯消元法。高斯消元法是非常直观的，它在很多计算中都起到了关键的作用，比如：
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1. 计算行列式；
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2. 检查向量是否是线性独立的；
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3. 计算矩阵的逆矩阵；
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4. 计算矩阵的秩；
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5. 决定向量空间的基。
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但当高斯消元法面对百万、千万级别的变量时，就捉襟见肘了。而这类级别的计算才是我们在实践中经常会遇到的，因此从实践角度来说，我也一般不推荐使用。因为高斯消元法属于直接法，直接法是经历有限次的运算得到方程组精确解的方法。但是，学习直接法是有意义的，虽然直接法在实际工作中不常用，但是它也能处理一些日常小问题，更重要的是，它稳固了我们进一步学习其它方法的基础。
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我要讲的第三种方法，就是与直接法对应的间接法了。在实践中，线性方程组的求解都是间接的，也就是运用迭代法。
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迭代法是采用极限过程，用线性方程组的近似解逐步逼近精确解的方法。所以，迭代法的关键在于每次迭代残余错误的减少，以及如何能够收敛到解。常见的迭代法有两类，定常迭代法（Stationary iterative method）和Krylov子空间方法（我会在应用篇中讲解）。
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> 定常迭代法：理查德森迭代法（Richardson method）、雅可比方法（Jacobi method）、Gauß-Seidel方法、逐次超松弛法（Successive over-relaxation method，简称SOR）。
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> Krylov子空间方法：共轭梯度法（Conjugate gradient）、 广义极小残余算法（Generalized minimal residual）、双共轭梯度法（Biconjugate gradient）。
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这里提到的几种迭代法都是在实践中比较常用的，也是计算机编程中经常实现的算法，但由于迭代法更多属于微分和极限领域，所以这里就不详细介绍了，我会在线性代数应用篇的“数值线性代数”那节课中再做讲解。
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如果在课程内容结束后，你还有余力学习更多的内容，这里我先推荐两本书给你作参考，一本是《Introduction to Numerical Analysis》，另一本是《Linear Algebra》。这两本书里面都有进一步地讲解了线性方程组的迭代法求解的内容。
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> 1.《Introduction to Numerical Analysis》
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> 作者：Stoer, Josef, Bulirsch, R.
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> 2002年出版
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> 2.《Linear Algebra》
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> 作者：Liesen, Jörg, Mehrmann, Volker
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> 2015年出版
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## 本节小结
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好了，到这里解线性方程组这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。
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首先，我用一个简单的线性方程组，通过直接观察的方法来计算这个方程组的特殊解和通用解，接着通过实例详细地介绍了高斯消元法，最后我给出了一些在实践中常用的线性方程组解方法。只有弄清楚这些基础知识的本质，你才能更进一步，去了解其他计算方法。
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线性方程组的求解已经成为了世界上最快计算机的测试标准，因为通过矩阵运算，计算机的并行计算能力暴露无遗。希望你能够在这些基础之上，阅读我推荐的两本书，并且把这些方法运用到实践中，特别是机器学习，因为机器学习也用到了很多迭代方法。
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## 线性代数练习场
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练习时刻到了，今天的练习题比较简单，请你用高斯消元法求下面的线性方程组。
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\\left\\{\\begin{array}{c}
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x\_{1}+x\_{2}-2 x\_{3}-x\_{4}=-1 \\\\\\
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x\_{1}+5 x\_{2}-3 x\_{3}-2 x\_{4}=0 \\\\\\
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3 x\_{1}-x\_{2}+x\_{3}+4 x\_{4}=2 \\\\\\
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\-2 x\_{1}+2 x\_{2}+x\_{3}-x\_{4}=1
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\\end{array}\\right.
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