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21 | 如何添加相机，用透视原理对物体进行投影？
你好，我是月影。
上节课，我们在绘制3D几何体的时候，实际上有一个假设，那就是观察者始终从三维空间坐标系的正面，也就是z轴正方向，看向坐标原点。但在真实世界的模型里，观察者可以处在任何一个位置上。
那今天，我们就在上节课的基础上，引入一个空间观察者的角色，或者说是相机（Camera），来总结一个更通用的绘图模型。这样，我们就能绘制出，从三维空间中任意一个位置观察物体的效果了。
首先，我们来说说什么是相机。
如何理解相机和视图矩阵？
我们现在假设，在WebGL的三维世界任意位置上有一个相机，它可以用一个三维坐标（Position）和一个三维向量方向（LookAt Target）来表示。
在初始情况下，相机的参考坐标和世界坐标是重合的。但是，当我们移动或者旋转相机的时候，相机的参考坐标和世界坐标就不重合了。
而我们最终要在Canvas画布上绘制出的是，以相机为观察者的图形，所以我们就需要用一个变换，将世界坐标转换为相机坐标。这个变换的矩阵就是视图矩阵（ViewMatrix）。
计算视图矩阵比较简单的一种方法是，我们先计算相机的模型矩阵，然后对矩阵使用lookAt函数，这样我们得到的矩阵就是视图矩阵的逆矩阵。然后，我们再对这个逆矩阵求一次逆，就可以得到视图矩阵了。
这么说还是有点比较抽象，我们通过代码来理解。
function updateCamera(eye, target = [0, 0, 0]) {
const [x, y, z] = eye;
const m = new Mat4(
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
x, y, z, 1,
);
const up = [0, 1, 0];
m.lookAt(eye, target, up).inverse();
renderer.uniforms.viewMatrix = m;
}
如上面代码所示，我们设置相机初始位置矩阵m，然后执行m.lookAt(eye, target, up)，这里的up是一个向量，表示朝上的方向，我们把它定义为y轴正向。然后我们调用inverse，将这个结果求逆，得到的就是视图矩阵。
为了让你看到相机的效果，我们改写上节课圆柱体的顶点着色器代码，加入视图矩阵。
attribute vec3 a_vertexPosition;
attribute vec4 color;
attribute vec3 normal;
varying vec4 vColor;
varying float vCos;
uniform mat4 projectionMatrix;
uniform mat4 modelMatrix;
uniform mat4 viewMatrix;
uniform mat3 normalMatrix;
const vec3 lightPosition = vec3(1, 0, 0);
void main() {
gl_PointSize = 1.0;
vColor = color;
vec4 pos = viewMatrix * modelMatrix * vec4(a_vertexPosition, 1.0);
vec4 lp = viewMatrix * vec4(lightPosition, 1.0);
vec3 invLight = lp.xyz - pos.xyz;
vec3 norm = normalize(normalMatrix * normal);
vCos = max(dot(normalize(invLight), norm), 0.0);
gl_Position = projectionMatrix * pos;
}
这样，如果我们就把相机位置改变了。我们以updateCamera([0.5, 0, 0.5]); 为例，这样朝向(0, 0, 0)拍摄图像的最终效果就如下所示。
剪裁空间和投影对3D图像的影响
在前面的课程中我们说过，WebGL的默认坐标范围是从-1到1的。也就是说，只有当图像的x、y、z的值在-1到1区间内才会被显示在画布上，而在其他位置上的图像都会被剪裁掉。
举个例子，如果我们修改模型矩阵，让圆柱体沿x、y轴平移，向右上方各平移0.5，那么圆柱中x、y值大于1的部分都会被剪裁掉，因为这些部分已经超过了Canvas边缘。操作代码和最终效果如下：
function update() {
const modelMatrix = fromRotation(rotationX, rotationY, rotationZ);
modelMatrix[12] = 0.5; // 给 x 轴增加 0.5 的平移
modelMatrix[13] = 0.5; // 给 y 轴也增加 0.5 的平移
renderer.uniforms.modelMatrix = modelMatrix;
renderer.uniforms.normalMatrix = normalFromMat4([], modelMatrix);
...
}
对于只有x、y的二维坐标系来说，这一点很好理解。但是，对于三维坐标系来说，不仅x、y轴会被剪裁，z轴同样也会被剪裁。我们还是直接修改代码，给z轴增加0.5的平移。你会看到，最终绘制出来的图形非常奇怪。
会显示这么奇怪的结果，就是因为z轴超过范围的部分也被剪裁掉了，导致投影出现了问题。
既然是投影出现了问题，我们先回想一下，我们都对z轴做过哪些投影操作。在绘制圆柱体的时候，我们只是用投影矩阵非常简单地反转了一下z轴，除此之外，没做过其他任何操作了。所以，为了让图形在剪裁空间中正确显示，我们不能只反转z轴，还需要将图像从三维空间中投影到剪裁坐标内。那么问题来了，图像是怎么被投影到剪裁坐标内的呢？
一般来说，投影有两种方式，分别是正投影与透视投影。你可以结合我给出的示意图，来理解它们各自的特点。
首先是正投影，它又叫做平行投影。正投影是将物体投影到一个长方体的空间（又称为视景体），并且无论相机与物体距离多远，投影的大小都不变。
而透视投影则更接近我们的视觉感知。它投影的规律是，离相机近的物体大，离相机远的物体小。与正投影不同，正投影的视景体是一个长方体，而透视投影的视景体是一个棱台。
知道了不同投影方式的特点，我们就可以根据投影方式和给定的参数来计算投影矩阵了。因为数学推导过程比较复杂，我在这里就不详细推导了，直接给出对应的JavaScript函数，你只要记住ortho和perspective这两个投影函数就可以了，函数如下所示。
其中，ortho是计算正投影的函数，它的参数是视景体x、y、z三个方向的坐标范围，它的返回值就是投影矩阵。而perspective是计算透视投影的函数，它的参数是近景平面near、远景平面far、视角fov和宽高比率aspect，返回值也是投影矩阵。
// 计算正投影矩阵
function ortho(out, left, right, bottom, top, near, far) {
let lr = 1 / (left - right);
let bt = 1 / (bottom - top);
let nf = 1 / (near - far);
out[0] = -2 * lr;
out[1] = 0;
out[2] = 0;
out[3] = 0;
out[4] = 0;
out[5] = -2 * bt;
out[6] = 0;
out[7] = 0;
out[8] = 0;
out[9] = 0;
out[10] = 2 * nf;
out[11] = 0;
out[12] = (left + right) * lr;
out[13] = (top + bottom) * bt;
out[14] = (far + near) * nf;
out[15] = 1;
return out;
}
// 计算透视投影矩阵
function perspective(out, fovy, aspect, near, far) {
let f = 1.0 / Math.tan(fovy / 2);
let nf = 1 / (near - far);
out[0] = f / aspect;
out[1] = 0;
out[2] = 0;
out[3] = 0;
out[4] = 0;
out[5] = f;
out[6] = 0;
out[7] = 0;
out[8] = 0;
out[9] = 0;
out[10] = (far + near) * nf;
out[11] = -1;
out[12] = 0;
out[13] = 0;
out[14] = 2 * far * near * nf;
out[15] = 0;
return out;
}
接下来，我们先试试对圆柱体进行正投影。假设，在正投影的时候，我们让视景体三个方向的范围都是(-2,2)。以刚才的相机位置为参照（任何一个位置观察都一样，不管物体在哪里，都是只有之前大小的一半。因为视景体范围增加了），我们绘制出来的圆柱体的大小只有之前的一半。这是因为我们通过投影变换将空间坐标范围增大了一倍。
import {ortho} from '../common/lib/math/functions/Mat4Func.js';
function projection(left, right, bottom, top, near, far) {
return ortho([], left, right, bottom, top, near, far);
}
const projectionMatrix = projection(-2, 2, -2, 2, -2, 2);
renderer.uniforms.projectionMatrix = projectionMatrix; // 投影矩阵
updateCamera([0.5, 0, 0.5]); // 设置相机位置
接下来，我们再试一下对圆柱体进行透视投影。在进行透视投影的时候，我们将相机的位置放在(2, 2, 3)的地方。
import {perspective} from '../common/lib/math/functions/Mat4Func.js';
function projection(near = 0.1, far = 100, fov = 45, aspect = 1) {
return perspective([], fov * Math.PI / 180, aspect, near, far);
}
const projectionMatrix = projection();
renderer.uniforms.projectionMatrix = projectionMatrix;
updateCamera([2, 2, 3]); // 设置相机位置
我们发现，在透视投影下，距离观察者（相机）近的部分大，距离它远的部分小。这更符合真实世界中我们看到的效果，所以一般来说，在绘制3D图形时，我们更偏向使用透视投影。
3D绘图标准模型
实际上，通过上节课和刚才的内容，我们已经能总结出3D绘制几何体的基本数学模型，也就是3D绘图的标准模型。这个标准模型一共有四个矩阵，它们分别是：投影矩阵、视图矩阵（ViewMatrix）、模型矩阵（ModelMatrix）、法向量矩阵（NormalMatrix）。
其中，前三个矩阵用来计算最终显示的几何体的顶点位置，第四个矩阵用来实现光照等效果。比较成熟的图形库，如ThreeJS、BabylonJS，基本上都是采用这个标准模型来进行3D绘图的。所以理解这个模型，也有助于增强我们对图形库的认识，帮助我们更好地去使用这些流行的图形库。
在前面的课程中，因为WebGL原生的API在使用上比较复杂，所以我们使用了简易的gl-renderer库来简化2D绘图过程。而3D绘图是一个比2D绘图更加复杂的过程，即使是gl-renderer库也有点力不从心，我们需要更加强大的绘图库，来简化我们的绘制，以便于我们能够把精力专注于理解图形学本身的核心内容。
当然，使用ThreeJS或BabeylonJS都是不错的选择。但是在这节课中，我会使用一个更加轻量级的图形库，叫做OGL。它拥有我们可视化绘图需要的所有基本功能，而且，相比于ThreeJS等流行图形库，它的AP相对更底层、更简单一些。因此不会有太多高级的特性对我们的学习造成干扰。
接下来，我就用这个库来绘制一些简单的圆柱体、立方体等等，让你对这个库的使用有一个全面的了解。
如何使用OGL绘制基本的几何体
OGL库使用的也是我们刚才说的标准模型，因此，使用它所以绘制几何体非常简单，分成以下7个步骤，如下图所示。
接下来，我们详细来看看每一步的操作。
首先，是创建Renderer对象。我们可以创建一个画布宽高为512的Renderer对象。代码如下：
const canvas = document.querySelector('canvas');
const renderer = new Renderer({
canvas,
width: 512,
height: 512,
});
然后，我们在OGL中，通过new Camera来创建相机，默认创建出的是透视投影相机。这里我们把视角设置为35度，位置设置为(0,1,7)，朝向为(0,0,0)。代码如下：
const gl = renderer.gl;
gl.clearColor(1, 1, 1, 1);
const camera = new Camera(gl, {fov: 35});
camera.position.set(0, 1, 7);
camera.lookAt([0, 0, 0]);
接着，我们创建场景。OGL使用树形渲染的方式，所以在用OGL创建场景时，我们要使用Transform元素。Transform类型是基本元素，它可以添加子元素和设置几何变换，如果父元素设置了变换，这些变换也会被应用到子元素。
const scene = new Transform();
然后，我们创建几何体对象。OGL内置了许多常用的几何体对象，包括球体Sphere、立方体Box、柱/锥体Cylinder以及环面Torus等等。使用这些对象，我们可以快速创建这些几何体的顶点信息。那在这里，我创建了4个几何体对象，分别是球体、立方体、椎体和环面。
const sphereGeometry = new Sphere(gl);
const cubeGeometry = new Box(gl);
const cylinderGeometry = new Cylinder(gl);
const torusGeometry = new Torus(gl);
再然后，我们创建 WebGL 程序。并且，我们在着色器中给这些几何体设置了浅蓝色和简单的光照效果。
const vertex = /* glsl */ `
precision highp float;
attribute vec3 position;
attribute vec3 normal;
uniform mat4 modelViewMatrix;
uniform mat4 projectionMatrix;
uniform mat3 normalMatrix;
varying vec3 vNormal;
void main() {
vNormal = normalize(normalMatrix * normal);
gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position, 1.0);
}
`;
const fragment = /* glsl */ `
precision highp float;
varying vec3 vNormal;
void main() {
vec3 normal = normalize(vNormal);
float lighting = dot(normal, normalize(vec3(-0.3, 0.8, 0.6)));
gl_FragColor.rgb = vec3(0.2, 0.8, 1.0) + lighting * 0.1;
gl_FragColor.a = 1.0;
}
`;
const program = new Program(gl, {
vertex,
fragment,
});
有了WebGL程序之后，我们使用它和几何体对象来构建真正的网格（Mesh）元素，最终再把这些元素渲染到画布上。我们创建了4个网格对象，它们的形状分别是环面、球体、立方体和圆柱，我们给它们设置了不同的位置，然后将它们添加到场景scene中去。
const torus = new Mesh(gl, {geometry: torusGeometry, program});
torus.position.set(0, 1.3, 0);
torus.setParent(scene);
const sphere = new Mesh(gl, {geometry: sphereGeometry, program});
sphere.position.set(1.3, 0, 0);
sphere.setParent(scene);
const cube = new Mesh(gl, {geometry: cubeGeometry, program});
cube.position.set(0, -1.3, 0);
cube.setParent(scene);
const cylinder = new Mesh(gl, {geometry: cylinderGeometry, program});
cylinder.position.set(-1.3, 0, 0);
cylinder.setParent(scene);
最后，我们将它们用相机camera对象的设定渲染出来，并分别设置绕y轴旋转的动画，你就能看到这4个图像旋转的画面了。代码如下：
requestAnimationFrame(update);
function update() {
requestAnimationFrame(update);
torus.rotation.y -= 0.02;
sphere.rotation.y -= 0.03;
cube.rotation.y -= 0.04;
cylinder.rotation.y -= 0.02;
renderer.render({scene, camera});
}
要点总结
在这一节课，我们在三维空间里，引入了相机和视图矩阵的概念，相机分为透视相机和正交相机，它们有不同的投影方式，并且设置它们还可以改变剪裁空间。视图矩阵和前一节课介绍的投影矩阵、模型矩阵、法向量矩阵一起，构成了3D绘图标准模型，这是一般的图形库遵循的标准绘图方式。
为了巩固学习到的知识，我们使用OGL库来尝试绘制不同的3D几何体，我们依次用OGL绘制了球体、立方体、圆柱体和环面。OGL绘制图形的基本步骤可以总结为7步，如下图：
小试牛刀
- 在上面的例子里，使用OGL绘制的球体看起来不是很圆，你可以研究一下OGL的代码，修改一下创建球体的参数，让它看起来更圆。
- 你能试着修改一下片元着色器，让上面绘制的4个几何体呈现不同的颜色吗？将它们分别改成红色、黄色、蓝色和绿色。
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源码
课程中完整示例代码详见GitHub仓库