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# 44 | 奇异值分解：如何挖掘潜在的语义关系？
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你好，我是黄申。
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今天，我们来聊另一种降维的方法，**SVD奇异值分解**（Singular Value Decomposition）。它的核心思路和PCA不同。PCA是通过分析不同维度特征之间的协方差，找到包含最多信息量的特征向量，从而实现降维。而SVD这种方法试图通过样本矩阵本身的分解，找到一些“潜在的因素”，然后通过把原始的特征维度映射到较少的潜在因素之上，达到降维的目的。
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这个方法的思想和步骤有些复杂，它的核心是矩阵分解，首先，让我们从方阵的矩阵分解开始。
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## 方阵的特征分解
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在解释方阵的分解时，我们会用到两个你可能不太熟悉的概念：方阵和酉矩阵。为了让你更顺畅的理解整个分解的过程，我先给你解释下这两个概念。
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**方阵**（Square Matrix）是一种特殊的矩阵，它的行数和列数相等。如果一个矩阵的行数和列数都是n，那么我们把它称作n阶方阵。
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如果一个矩阵和其转置矩阵相乘得到的是单位矩阵，那么它就是一个**酉矩阵**（Unitary Matrix）。
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$X’X=I$
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其中X’表示X的转置，I表示单位矩阵。换句话说，矩阵X为酉矩阵的充分必要条件是X的转置矩阵和X的逆矩阵相等。
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$X’=X^{-1}$
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理解这两个概念之后，让我们来观察矩阵的特征值和特征向量。前两节我们介绍了，对于一个n×n维的矩阵$X$，$n$维向量$v$，标量$λ$，如果有$Xv=λv$。
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那么我们就说$λ$是$X$的特征值，$v$是$X$的特征向量，并对应于特征值$λ$。
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之前我们说过特征向量表示了矩阵变化的方向，而特征值表示了变化的幅度。实际上，通过特征值和特征矩阵，我们还可以把矩阵X进行**特征分解**（Eigendecomposition）。这里矩阵的特征分解，是指把矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。如果我们求出了矩阵$X$的$k$个特征值$λ1，λ2，…，λn$，以及这$n$个特征值所对应的特征向量$v1，v2，…，vn$，那么就有$XV=VΣ$。
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其中，$V$是这$n$个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。进一步推导，我们可以得到：
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$XVV^{-1}=VΣV^{-1}$
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$XI=VΣV^{-1}$
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$X=VΣV^{-1}$
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如果我们会把$V$的这$n$个特征向量进行标准化处理，那么对于每个特征向量$V\_i$，就有$||V\_i||\_2=1$，而这表示$V’\_iV\_i=1$，此时V的n个特征向量为标准正交基，满足$V’V=I$ ， 也就是说V为酉矩阵，有$V’=V^{-1}$ 。这样一来，我们就可以把特征分解表达式写作$X=VΣV’$。
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我们以介绍PCA分析时所用的矩阵为例，验证矩阵的特征分解。当时，我们有一个：
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下面我们需要证明$X=VΣV’$成立，我把推算的过程写在下面了。
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讲到这里，相信你对矩阵的特征分解有了一定程度的认识。可是，矩阵$X$必须为对称方阵才能进行有实数解的特征分解。那么如果$X$不是方阵，那么应该如何进行矩阵的分解呢？这个时候就需要用到奇异值分解SVD了。
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## 矩阵的奇异值分解
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SVD分解和特征分解相比，在形式上是类似的。假设矩阵$X$是一个m×n维的矩阵，那么$X$的SVD为$X=UΣV’$。
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不同的地方在于，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵，所以这里的$U$和$V’$并不是互为逆矩阵。其中$U$是一个m×m维的矩阵，$V$是一个n×n维的矩阵。而$Σ$是一个m×n维的矩阵，对于$Σ$来说，只有主对角线之上的元素可以为非$0$，其他元素都是$0$，而主对角线上的每个元素就称为**奇异值**。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足$U’U=I,V’V=I$。
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现在问题来了，我们应该如何求出，用于SVD分解的$U,Σ和V$这三个矩阵呢？之所以不能使用有实数解的特征分解，是因为此时矩阵X不是对称的方阵。我们可以把$X$的转置$X’$和$X$做矩阵乘法，得到一个n×n维的对称方阵$X’X$。这个时候，我们就能对$X’X$这个对称方阵进行特征分解了，得到的特征值和特征向量满足$(XX’)v\_i=λ\_iv\_i$。
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这样一来，我们就得到了矩阵$X’X$的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量$v$。通过$X’X$的所有特征向量构造一个n×n维的矩阵$V$，这就是上述SVD公式里面的$V$矩阵了。通常我们把$V$中的每个特征向量叫作$X$的**右奇异向量**。
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同样的道理，如果我们把X和X’做矩阵乘法，那么会得到一个m×m维的方阵XX’。由于XX’也是方阵，因此我们同样可以对它进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足$(XX’)u\_i=λ\_iu\_i$。
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类似地，我们得到了矩阵$XX’$的m个特征值和对应的m个特征向量$u$。通过XX’的所有特征向量构造一个m×m的矩阵$U$。这就是上述SVD公式里面的$U$矩阵了。通常，我们把U中的每个特征向量叫作X的**左奇异向量**。
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现在，包含左右奇异向量的$U$和$V$都求解出来了，只剩下奇异值矩阵$Σ$了。之前我提到，$Σ$除了对角线上是奇异值之外，其他位置的元素都是$0$，所以我们只需要求出每个奇异值$σ$就可以了。这个解可以通过下面的公式推导求得：
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$X=UΣV’$
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$XV=UΣV’V$
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由于$V$是酉矩阵，所以$V’V=I$，就有：
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$XV=UΣI$
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$XV=UΣ$
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$Xv\_i=σ\_iu\_i$
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$σ\_i=\\frac{Xv\_i}{u\_i}$
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其中$v\_i$和$u\_i$都是列向量。一旦我们求出了每个奇异值$σ$，那么就能得到奇异值矩阵$Σ$。
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通过上述几个步骤，我们就能把一个mxn维的实数矩阵，分解成$X=UΣV’$的形式。说到这里，你可能会疑惑，把矩阵分解成这个形式有什么用呢？实际上，在不同的应用中，这种分解表示了不同的含义。下面，我会使用潜在语义分析的案例，带你看看，在发掘语义关系的时候，SVD分解起到了怎样的关键作用。
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## 潜在语义分析和SVD
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在讲向量空间模型的时候，我解释了文档和词条所组成的矩阵。对于一个大的文档集合，我们首先要构造字典，然后根据字典构造每篇文档的向量，最后通过所有文档的向量构造矩阵。矩阵的行和列分别表示文档和词条。基于这个矩阵、向量空间中的距离、余弦夹角等度量，我们就可以进行基于相似度的信息检索或文档聚类。
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不过，最简单的向量空间模型采用的是精确的词条匹配，它没有办法处理词条形态的变化、同义词、近义词等情况。我们需要使用拉丁语系的取词根（Stemming）操作，并手动建立同义词、近义词词典。这些处理方式都需要人类的语义知识，也非常依赖人工的干预。另外，有些词语并不是同义词或者近义词，但是相互之间也是有语义关系的。例如“学生”“老师”“学校”“课程”等等。
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那么，我们有没有什么模型，可以自动地挖掘在语义层面的信息呢？当然，目前的计算机还没有办法真正理解人类的自然语言，它们需要通过大量的数据，来找到词语之间的关系。下面我们就来看看**潜在语义分析LSA**（Latent Semantic Analysis）或者叫潜在语义索引LSI（Latent Semantic Index）这种方法，是如何做到这点的。
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和一般的向量空间模型有所不同，LSA通过词条和文档所组成的矩阵，发掘词和词之间的语义关系，并过滤掉原始向量空间中存在的一些“噪音”，最终提高信息检索和机器学习算法的精确度。LSA主要包括以下这些步骤。
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第一步，分析文档集合，建立表示文档和词条关系的矩阵。
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第二步，对文档-词条矩阵进行SVD奇异值分解。在LSA的应用场景下，分解之后所得到的奇异值σ对应了一个语义上的“概念”，而$σ$值的大小表示这个概念在整个文档集合中的重要程度。$U$中的左奇异值向量表示了每个文档和这些语义“概念”的关系强弱，$V$中的右奇异值向量表示每个词条和这些语义“概念”的关系强弱。所以说，SVD分解把原来的词条-文档关系，转换成了词条-语义概念-文档关系。
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我画了一张图帮助你理解这个过程。
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在这张图中，我们有一个7×5维的矩阵$X$，表示7个文档和5个单词。经过SVD分解之后，我们得到了两个主要的语义概念，一个概念描述了计算机领域，另一个概念描述了医学领域。矩阵U描述文档和这两个概念之间的关系，而矩阵$V’$描述了各个词语和这两个概念之间的关系。如果要对文档进行检索，我们可以使用$U$这个降维之后的矩阵，找到哪些文档和计算机领域相关。同样，对于聚类算法，我们也可以使用U来判断哪些文档属于同一个类。
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第三步，对SVD分解后的矩阵进行降维，这个操作和PCA主成分分析的降维操作是类似的。
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第四步，使用降维后的矩阵重新构建概念-文档矩阵，新矩阵中的元素不再表示词条是不是出现在文档中，而是表示某个概念是不是出现在文档中。
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总的来说，LSA的分解，不仅可以帮助我们找到词条之间的语义关系，还可以降低向量空间的维度。在这个基础之上再运行其他的信息检索或者机器学习算法，就更加有效。
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## 总结
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之前介绍的PCA主成分分析，要求矩阵必须是对称的方阵，因此只适用于刻画特征之间关系的协方差矩阵。但是，有的时候我们需要挖掘的是样本和特征之间的关系，例如文档和词条。这个时候矩阵并不是对称的方阵，因此无法直接使用PCA分析。
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为此，SVD奇异值分解提供了一种可行的方案。它巧妙地运用了矩阵X和自己的转置相乘，生成了两种对称的方阵，并通过这两者的特征分解，获得了SVD中的左奇异向量所组成的矩阵U和右奇异向量所组成的矩阵V，并最终推导出奇异值矩阵Σ。这样，SVD就可以对原始的数据矩阵进行分解，并运用最终的奇异向量进行降维。
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我们可以把SVD运用在很多场合中，在不同的应用场景下，$U，V$和$Σ$代表了不同的含义。例如，在LSA分析中，通过对词条和文档矩阵的SVD分解，我们可以利用Σ获得代表潜在语义的一些概念。而矩阵$U$表示了这些概念和文档之间的关系，矩阵$V$表示了这些概念和单个词语之间的关系。
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## 思考题
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请使用你自己熟悉的语言实现SVD分解。（提示：如果使用Python等科学计算语言，你可以参考本节所讲述的矩阵分解步骤，也可以使用一些现成的科学计算库。）
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