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# 15 | 从树到图：如何让计算机学会看地图？
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你好，我是黄申。
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我们经常使用手机上的地图导航App，查找出行的路线。那计算机是如何在多个选择中找到最优解呢？换句话说，计算机是如何挑选出最佳路线的呢？
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前几节，我们讲了数学中非常重要的图论中的概念，图，尤其是树中的广度优先搜索。在广度优先的策略中，因为社交网络中的关系是双向的，所以我们直接用无向边来求解图中任意两点的最短通路。
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这里，我们依旧可以用图来解决这个问题，但是，影响到达最终目的地的因素有很多，比如出行的交通工具、行驶的距离、每条道路的交通状况等等，因此，我们需要赋予到达目的地的每条边，不同的权重。而我们想求的最佳路线，其实就是各边权重之和最小的通路。
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我们前面说了，广度优先搜索只测量通路的长度，而不考虑每条边上的权重。那么广度优先搜索就无法高效地完成这个任务了。那我们能否把它改造或者优化一下呢？
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我们需要先把交通地图转为图的模型。图中的每个结点表示一个地点，每条边表示一条道路或者交通工具的路线。其中，边是有向的，表示单行道等情况；其次，边是有权重的。
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假设你关心的是路上所花费的时间，那么权重就是从一点到另一点所花费的时间；如果你关心的是距离，那么权重就是两点之间的物理距离。这样，我们就把交通导航转换成图论中的一个问题：在边有权重的图中，如何让计算机查找最优通路？
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## 基于广度优先或深度优先搜索的方法
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我们以寻找耗时最短的路线为例来看看。
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一旦我们把地图转换成了图的模型，就可以**运用广度优先搜索，计算从某个出发点，到图中任意一个其他结点的总耗时**。
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基本思路是，从出发点开始，广度优先遍历每个点，当遍历到某个点的时候，如果该点还没有耗时的记录，记下当前这条通路的耗时。如果该点之前已经有耗时记录了，那就比较当前这条通路的耗时是不是比之前少。如果是，那就用当前的替换掉之前的记录。
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实际上，地图导航和之前社交网络最大的不同在于，每个结点被访问了一次还是多次。在之前的社交网络的案例中，使用广度优先策略时，对每个结点的首次访问就能获得最短通路，因此每个结点只需要被访问一次，这也是为什么广度优先比深度优先更有效。
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而在地图导航的案例中，从出发点到某个目的地结点，可能有不同的通路，也就意味着耗时不同。而耗时是通路上每条边的权重决定的，而不是通路的长度。因此，为了获取达到某个点的最短时间，我们必须遍历所有可能的路线，来取得最小值。这也就是说，我们对某些结点的访问可能有多次。
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我画了一张图，方便你理解多条通路对最终结果的影响。这张图中有A、B、C、D、E五个结点，分别表示不同的地点。
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从这个图中可以看出，从A点出发到目的地B点，一共有三条路线。
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* 如果你直接从A点到B点，度数为1，需要50分钟。
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* 从A点到C点再到B点，虽然度数为2，但总共只要40分钟。
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* 从A点到D点，到E点，再到最后的B点，虽然度数为3，但是总耗时只有35分钟，比其他所有的路线更优。
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这种情形之下，使用广度优先找到的最短通路，不一定是最优的路线。所以，对于在地图上查找最优路线的问题，无论是广度优先还是深度优先的策略，都需要遍历所有可能的路线，然后取最优的解。
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在遍历所有可能的路线时，有几个问题需要注意。
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第一，由于要遍历所有可能的通路，因此一个点可能会被访问多次。当然，这个“多次“是指某个结点出现在不同通路中，而不是多次出现在同一条通路中。因为我们不想让用户总是兜圈子，所以需要避免回路。
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第二，如果某个结点x和起始点s之间存在多个通路，每当x到s之间的最优路线被更新之后，我们还需要更新所有和x相邻的结点之最优路线，计算复杂度会很高。
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## 一个优化的版本：Dijkstra算法
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无论是广度优先还是深度优先的实现，算法对每个结点的访问都可能多于一次。而访问多次，就意味着要消耗更多的计算机资源。那么，有没有可能在保证最终结果是正确的情况下，尽可能地减少访问结点的次数，来提升算法的效率呢？
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首先，我们思考一下，对于某些结点，是不是可以提前获得到达它们的最终的解（例如最短耗时、最短距离、最低价格等等），从而把它们提前移出遍历的清单？如果有，是哪些结点呢？什么时候可以把它们移除呢？Dijkstra算法要登场了！它简直就是为了解决这些问题量身定制的。
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Dijkstra算法的核心思想是，对于某个结点，如果我们已经发现了最优的通路，那么就无需在将来的步骤中，再次考虑这个结点。Dijkstra算法很巧妙地找到这种点，而且能确保已经为它找到了最优路径。
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### 1.Dijkstra算法的主要步骤
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让我们先来看看Dijkstra算法的主要步骤，然后再来理解，它究竟是如何确定哪些结点已经拥有了最优解。
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首先你需要了解几个符号。
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第一个是source，我们用它表示图中的起始点，缩写是s。
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然后是weight，表示二维数组，保存了任意边的权重，缩写为w。w\[m, n\]表示从结点m到结点n的有向边之权重，大于等于0。如果m到n有多条边，而且权重各自不同，那么取权重最小的那条边。
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接下来是min\_weight，表示一维数组，保存了从s到任意结点的最小权重，缩写为mw。假设从s到某个结点m有多条通路，而每条通路的权重是这条通路上所有边的权重之和，那么mw\[m\]就表示这些通路权重中的最小值。mw\[s\]=0，表示起始点到自己的最小权重为0。
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最后是Finish，表示已经找到最小权重的结点之集合，缩写为F。一旦结点被放入集合F，这个结点就不再参与将来的计算。
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初始的时候，Dijkstra算法会做三件事情。第一，把起始点s的最小权重赋为0，也就是mw\[s\] = 0。第二，往集合F里添加结点s，F包含且仅包含s。第三，假设结点 s 能直接到达的边集合为M，对于其中的每一个对端节点m，则把mw\[m\]设为w\[s, m\]，同时对于所有其他s不能直接到达的结点，将通路的权重设为无穷大。
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然后，Dijkstra算法会重复下列两个步骤。
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**第一步，查找最小mw**。从mw数组选择最小值，则这个值就是起始点s到所对应的结点的最小权重，并且把这个点加入到F中，针对这个点的计算就算完成了。
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比如，当前mw中最小的值是mw\[x\]=10，那么结点s到结点x的最小权重就是10，并且把结点x放入集合F，将来没有必要再考虑点x，mw\[x\]可能的最小值也就确定为10了。
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**第二步，更新权重**。然后，我们看看，新加入F的结点x，是不是可以直接到达其他结点。如果是，看看通过x到达其他点的通路权重，是否比这些点当前的mw更小，如果是，那么就替换这些点在mw中的值。
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例如，x可以直接到达y，那么把(mw\[x\] + w\[x, y\])和mw\[y\]比较，如果(mw\[x\] + w\[x, y\])的值更小，那么把mw\[y\]更新为这个更小的值，而我们把x称为y的前驱结点。
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然后，重复上述两步，再次从mw中找出最小值，此时要求mw对应的结点不属于F，重复上述动作，直到集合F包含了图的所有结点，也就是说，没有结点需要处理了。
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字面描述有些抽象，我用一个具体的例子来解释一下。你可以看我画的这个图。
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我们把结点s放入集合F。同s直接相连的结点有a、b、c和d，我把它们的mw更新为w数组中的值，就可以得到如下结果：
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然后，我们从mw选出最小的值0.2，把对应的结点c加入集合F，并更新和c直接相连的结点f、h的mw值，得到如下结果：
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然后，我们从mw选出最小的值0.3，把对应的结点b加入集合F，并更新和b直接相连的结点a和f的mw值。以此逐步类推，可以得到如下的最终结果：
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你可以试着自己从头到尾推导一下，看看结果是不是和我的一致。
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说到这里，你可能会产生一个疑问：Dijkstra算法提前把一些结点排除在计算之外，而且没有遍历全部可能的路径，那么它是如何确保找到最优路径的呢？
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下面，我们就来看看这个问题的答案。Dijkstra算法的步骤看上去有点复杂，不过其中最关键的两步是：第一个是每次选择最小的mw；第二个是，假设被选中的最小mw，所对应的结点是x，那么查看和x直接相连的结点，并更新它们的mw。
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### 2.为什么每次都要选择最小的mw？
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最小的、非无穷大的mw值，对应的结点是还没有加入F集合的、且和s有通路的那些结点。假设当前mw数组中最小的值是mw\[x\]，对应的结点是x。如果边的权重都是正值，那么通路上的权重之和是单调递增的，所以其他通路的权重之和一定大于当前的mw\[x\]，因此即使存在其他的通路，其权重也会比mw\[x\]大。
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你可以结合这个图，来理解我刚才这段话。
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图中的虚线表示省去了通路中间的若干结点。mw\[x\]是当前mw数组中的最小值，所以它小于等于任何一个mw\[xn\]，其中xn不等于x。
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我们假设存在另一个通路，通过$x\_{n}$达到x，那么通路的权重总和为mw\[$x\_{n}$\] + w\[$x\_{n}$, x\] ≥ mw\[$x\_{n}$\] ≥ mw\[x\]。所以我们可以得到一个结论：拥有最小mw值的结点x不可能再找到更小的mw值，可以把它放入“已完成“的集合F。
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这就是为什么每次都要选择最小的mw值，并认为对应的结点已经完成了计算。和广度优先或者深度优先的搜索相比，Dijkstra算法可以避免对某些结点，重复而且无效的访问。因此，每次选择最小的mw，就可以提升了搜索的效率。
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### 3.为什么每次都要看x直接相连的结点？
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我们已经确定mw\[x\]是从点s到点x的最小权重，那么就可以把这个确定的值传播到和x直接相连、而且不在F中的结点。通过这一步，我们就可以获得从点s到这些点、而且经过x的通路中最小的那个权重。我画了张图帮助你理解。
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在这个图中，x直接相连$y\_{1}$，$y\_{2}$，…，$y\_{n}$。从点s到点x的mw\[x\]已经确定了，那么对于从s到yn的所有通路，只有两种可能，经过x和不经过x。如果这条通路经过x，那么其权重的最小值就是mw’\[$y\_{i}$\] = mw\[x\] + w\[x, $y\_{i}$\]中的一个（1≤i≤n），我们只需要把这个值和其他未经过x结点的通路之权重对比就足够了。这就是为什么每次要更新和x直接相连的结点之mw。
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这一步和广度优先策略中的查找某个结点的所有相邻结点类似。但是，之后，Dijkstra算法重复挑选最小权重的步骤，既没有遵从广度优先，也没有遵从深度优先。即便如此，它仍然保证了不会遗漏任意一点和起始点s之间、拥有最小权重的通路，从而保证了搜索的覆盖率。你可能会奇怪，这是如何得到保证的？我使用数学归纳法，来证明一下。
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你还记得数学归纳法的一般步骤吗？刚好借由这个例子我们也来复习一下。
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**我们的命题是，对于任意一个点，Dijkstra算法都可以找到它和起始点s之间拥有最小权重的通路。**
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首先，当n=1的时候，也就是只有起始点s和另一个终止点的时候，Dijkstra算法的初始化阶段的第3步，保证了命题的成立。
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然后，我们假设n=k-1的时候命题成立，同时需要证明n=k的时候命题也成立。命题在n=k-1时成立，表明从点s到k-1个终点的任何一个时，Dijkstra算法都能找到拥有最小权重的通路。那么再增加一个结点x，Dijkstra算法同样可以为包含x的k个终点找到最小权重通路。
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这里我们只需要考虑x和这k-1个点连通的情况。因为如果不连通，就没有必要考虑x了。既然连通，x可能会指向之前k-1个结点，也有可能被这k-1个结点所指向。假设x指向了y，而z指向了x，y和z都是之前k-1个结点中的一员。
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我们先来看x对y的影响。如果x不在从s到y的最小权重通路上，那么x的加入并不影响mw\[y\]的最终结果。如果x在从s到y的最小权重通路上，那么就意味着mw\[x\] + w\[x, y\]≤mw’\[y\]，mw’表示没有引入结点x的时候，mw的值。
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所以有mw\[x\]≤mw’\[y\]，这就意味着Dijkstra算法在查找最小mw的步骤中，会在mw’\[y\]之前挑出mw\[x\]，也就是找到了从s到y，且经过x的最小权重通路。
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我们再来看z对x的影响。假设有多个z指向x，分别是$z\_{1}$, $z\_{2}$, …,$z\_{m}$，从s到x的通路必定会经过这m个z结点中的一个。Dijkstra算法中找最小mw的步骤，一定会遍历mw\[$z\_{i}$\]（1<=i<=m），而更新权重的步骤，可以并保证从(mw\[$z\_{i}$\] + w\[$z\_{i}$, x\])中找出最小值，最终找到从s到x的最优通路。
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有了详细的推导，想要写出代码就不难了。我这里只给你说几点需要注意的地方。
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在自动生成图的函数中，你需要把广度优先搜索的相应代码做两处修改。第一，现在边是有向的了，所以生成的边只需要添加一次；第二，要给边赋予一个权重值，例如可以把边的权重设置为\[0,1.0)之间的float型数值。
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为了更好地模块化，你可以实现两个函数：findGeoWithMinWeight和updateWeight。它们分别对应于我之前提到的最重要的两步：每次选择最小的mw；更新和x直接相连的结点之mw。
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每次查找最小mw的时候，我们需要跳过已经完成的结点，只考虑那些不在F集合中的点。这也是Dijkstra算法比较高效的原因。此外，如果你想输出最优路径上的每个结点，那么在updateWeight函数中就要记录每个结点的前驱结点。
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如果你能跟着我进行一步步的推导，并且手写代码进行练习，相信你对Dijkstra算法会有更深刻的印象。
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## 小结
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我们使用Dijkstra算法来查找地图中两点之间的最短路径，而今天我所介绍的Dijkstra使用了更为抽象的“权重”。如果我们把结点作为地理位置，边的权重设置为路上所花费的时间，那么Dijkstra算法就能帮助我们找到，任意两个点之间耗时最短的路线。
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除了时间之外，你也可以对图的边设置其他类型的权重，比如距离、价格，这样Dijkstra算法可以让用户找到地图任意两点之间的最短路线，或者出行的最低价格等等。有的时候，边的权重越大越好，比如观光车开过某条路线的车票收入。对于这种情况，Dijkstra算法就需要调整一下，每次找到最大的mw，更新邻近结点时也要找更大的值。所以，你只要掌握核心的思路就可以了，具体的实现可以根据情况去灵活调整。
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## 思考题
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今天的思考题和地图数据的特殊情况有关。
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1. 如果边的权重是负数，我们还能用今天讲的Dijkstra算法吗？
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2. 如果地图中存在多条最优路径，也就是说多条路径的权重和都是相等的，那么我刚刚介绍的Dijkstra算法应该如何修改呢？
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欢迎在留言区交作业，并写下你今天的学习笔记。你可以点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起精进。
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