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14 | 如何在深度学习中运用数值代数的迭代法做训练？
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我要讲的内容是“数值线性代数的迭代法，以及如何在实践中运用迭代法求解线性方程组”。
大密度线性方程组的计算已经成为了世界上最快计算机的测试标准。2008年，IBM为美国能源部Los Alamos国家实验室建造了“Roadrunner”计算机系统，它的运算速度达到了1.026 petaflop/s（千万亿次/秒，petaflop是衡量计算机性能的一个重要单位，1 petaflop等于每秒钟进行1千万亿次的数学运算）。按摩尔定律计算，现在世界上最快的计算机已经达到了200 petaflop，我国也早就进入了世界前列，并有望实现1 exaflop/s（百亿亿次/秒），成为世界第一。
可能你会有些疑惑，为什么我要在课程后期来讲数值线性代数呢？
那是因为数值线性代数是一门特殊的学科，是特别为计算机上进行线性代数计算服务的，可以说它是研究矩阵运算算法的学科，偏向算法实践与工程设计。有了之前基础知识的铺垫后，学习数值线性代数会更有效，而且它是可以直接运用在计算机科学中的，比如：在图像压缩中，使用奇异值分解（SVD）来节省内存；在深度学习中，使用共轭梯度来加速神经网络的收敛。
迭代方法说明
课程内容的前期一直都在用直接法来解线性方程组，比如高斯消元法。但在实践中，我们在面对复杂场景时，更多的会使用迭代法来求解（也就是所谓的间接法），因为很多场景会用到大型稀疏矩阵。所以，我打算在这里讲讲机器学习中的迭代法应用。这里需要注意，不是说直接法不重要，直接法解决了许多相对简单的问题，也是其他方法的基础。
现在我就来说一说什么是迭代法？
我们还是通过线性方程组Ax=b来看看。在这里我们分解A，使得A=S-T，代入等式后得出：Sx=Tx+b（等式①）。
按这样的方式持续下去，通过迭代的方式来解Sx。这就类似于把复杂问题层层分解和简化，最终使得这个迭代等式成立：Sx\_{k+1}=Tx\_{k}+b（等式②）。
更具体一点来说，我们其实是从x\_{0}开始，解Sx\_{1}=Tx\_{0}+b。然后，继续解Sx\_{2}=Tx\_{1}+b。一直到x\_{k+1}非常接近x\_{k}时，又或者说残余值r\_{k}=b-Ax\_{k}接近0时，迭代停止。由于线性方程组的复杂程度不同，这个过程经历几百次的迭代都是有可能的。所以，迭代法的目标就是比消元法更快速地逼近真实解。
那么究竟应该如何快速地逼近真实解呢？
这里，A=S-T，A的分解成了关键，也就是说A的分解目标是每步的运算速度和收敛速度都要快。每步的运算速度取决于S，而收敛速度取决于“错误”(error)，e\_{k}，这里的错误 e\_{k}是x-x\_{k}，也就是说x和x\_{k}的差应该快速逼近0，我们把错误表示成这样：e\_{k+1}=S^{-1}Te\_{k}（等式③）。
它是等式②和①差后得出的结果，迭代的每一步里，错误都会被S^{-1}T乘，如果S^{-1}T越小，那逼近0的速度就更快。在极端分解情况下，S=A，T=0，那Ax=b又回来了，第一次迭代就能完成收敛，其中S^{-1}T等于0。
但是，这一次迭代的成本太高，我们回到了非迭代方式的原点。所以，你也知道，鱼和熊掌不能兼得，S的选择成为了关键。那我们要如何在每一次迭代的速度和快速收敛之间做出平衡呢？我给你S选择的几种常见方法：
- 雅可比方法（Jacobi method）：
S取A的对角部分。 - 高斯-赛德尔方法（Gauss-Seidel）：
S取A的下三角部分，包含对角。 - ILU方法（Incomplete LU）：
S=L估计乘U估计。
雅可比方法实践
总体介绍了迭代法理论之后，我们就进入迭代法运用的实践环节。
首先，我们先来试试使用雅可比方法解线性方程组，雅克比迭代法是众多迭代法中比较早且较简单的一种。所以，作为迭代法的实践开篇比较合适。让我们设一个2×2的线性方程组：
Ax=b
\\left\\{\\begin{array}{c}
2 u-v=4 \\\\\\
\-u+2 v=-2
\\end{array}\\right.
我们很容易就能得出这个方程组的解如下。
\\left\[\\begin{array}{l}
u \\\\\\
v
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
2 \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
现在我们就用雅可比方法来看看怎么解这个方程组：
首先，我们把线性方程组转换成矩阵形式。
\\left\[\\begin{array}{cc}
2 & -1 \\\\\\
\-1 & 2
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
4 \\\\\\
\-2
\\end{array}\\right\]
接着，把A的对角线放在等式左边，得出S矩阵。
S=\\left\[\\begin{array}{ll}
2 & 0 \\\\\\
0 & 2
\\end{array}\\right\]
其余部分移到等式右边，得出T矩阵。
T=\\left\[\\begin{array}{ll}
0 & 1 \\\\\\
1 & 0
\\end{array}\\right\]
于是，雅可比迭代就可以表示成下面这样的形式。
\\mathrm{S} x\_{k+1}=T x\_{k}+\\mathrm{b}
\\left\\{\\begin{array}{l}
2 u\_{k+1}=v\_{k}+4 \\\\\\
2 v\_{k+1}=u\_{k}-2
\\end{array}\\right.
现在是时候进行迭代了，我们从u\_{0}=v\_{0}=0开始。
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{0} \\\\\\
v\_{0}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
0 \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
第一次迭代后，我们得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{1} \\\\\\
v\_{1}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
2 \\\\\\
\-1
\\end{array}\\right\]
第二次迭代后得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{2} \\\\\\
v\_{2}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
\\frac{3}{2} \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
第三次迭代后得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{3} \\\\\\
v\_{3}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
2 \\\\\\
\-\\frac{1}{4}
\\end{array}\\right\]
第四次迭代后得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{4} \\\\\\
v\_{4}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
\\frac{15}{8} \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
第五次迭代后，我们得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{5} \\\\\\
v\_{5}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
2 \\\\\\
\-\\frac{1}{16}
\\end{array}\\right\]
经过五次迭代后发现收敛，因为它的结果接近真实解。
真实解
\\left\[\\begin{array}{l}
2 \\\\\\
0
\\end{array}\\right\]
现在，再来看一下错误等式，\\mathrm{Se}_{k+1}=T e_{k}，我们把S和T代入等式，得出：
\\left\[\\begin{array}{ll}
2 & 0 \\\\\\
0 & 2
\\end{array}\\right\] e\_{k+1}=\\left\[\\begin{array}{ll}
0 & 1 \\\\\\
1 & 0
\\end{array}\\right\] e\_{k}
计算S的逆矩阵和T相乘S^{-1}T得出：
e\_{k+1}=\\left\[\\begin{array}{cc}
0 & \\frac{1}{2} \\\\\\
\\frac{1}{2} & 0
\\end{array}\\right\] e\_{k}
这里，S的逆矩阵和T相乘S^{-1}T有特征值\\frac{1}{2}和-\\frac{1}{2}，所以，它的谱半径是\\rho(B)=\\frac{1}{2}。这里的谱半径是用来控制收敛的，所以非常重要。谱半径从数学定义上是：矩阵（或者有界线性算子的谱半径）是指其特征值绝对值集合的上确界。这个概念是不是很难理解？具体谱半径的概念你可以查互联网来获取，为了方便你理解，这里我还是用数学方法来简单表达一下。
B=S^{-1} T=\\left\[\\begin{array}{ll}
0 & \\frac{1}{2} \\\\\\
\\frac{1}{2} & 0
\\end{array}\\right\]
通过S的逆矩阵和T相乘S^{-1}T，我们得到：|\\lambda|\_{\\max }=\\frac{1}{2}，以及：
\\left\[\\begin{array}{cc}
0 & \\frac{1}{2} \\\\\\
\\frac{1}{2} & 0
\\end{array}\\right\]^{2}=\\left\[\\begin{array}{cc}
\\frac{1}{4} & 0 \\\\\\
0 & \\frac{1}{4}
\\end{array}\\right\]
这里的特征值\\frac{1}{2}非常小，所以10次迭代后，错误就很低了，即\\frac{1^{10}}{2}=\\frac{1}{1024}。而如果特征值是0.99或者0.999，那很显然迭代次数就要多得多，也就是说需要更多时间来做运算。
高斯-赛德尔方法实践
现在我们再来看下高斯-赛德尔方法，高斯-赛德尔迭代可以节约存储和加速迭代，每迭代一次只需一组存储单元，而雅可比迭代需要两组单元。
S取A的下三角部分，还是使用之前雅可比方法中的例子，我们得出方程组：
\\left\\{\\begin{array}{c}
u\_{k+1}=\\frac{1}{2} v\_{k}+2 \\\\\\
v\_{k+1}=\\frac{1}{2} u\_{k+1}-1
\\end{array}\\right.
这里有一个比较大的变化，那就是u\_{k}消失了，通过v\_{k}，我们可以直接得到u\_{k+1}和v\_{k+1}，这样有什么好处呢？两大好处是显而易见的，就是节约存储和加速迭代。
接下来，我们从u\_{0}=0，v\_{0}=-1来测试一下迭代。
第一次迭代后，我们得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{1} \\\\\\
v\_{1}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}
\\frac{3}{2} \\\\\\
\\frac{-1}{4}
\\end{array}\\right\]
第二次迭代后得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{2} \\\\\\
v\_{2}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{l}
\\frac{15}{8} \\\\\\
\\frac{-1}{16}
\\end{array}\\right\]
第三次迭代后得到：
\\left\[\\begin{array}{l}
u\_{3} \\\\\\
v\_{3}
\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{r}
\\frac{63}{32} \\\\\\
\-\\frac{1}{64}
\\end{array}\\right\]
经过三次迭代后发现收敛，因为第三次迭代后的结果接近真实解。
错误经过计算分别是-1, \\frac{-1}{4}, \\frac{-1}{16}, \\frac{-1}{64}，和刚才使用雅可比方法得出的错误2, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{8}, \\frac{1}{32}。比较后我们可以发现，无论是迭代次数还是收敛速度方面，高斯-赛德尔方法比雅可比方法速度快、精确度也高得多。
逐次超松弛方法
最后，我们在高斯-赛德尔方法上做个小调整，在迭代中引入一个参数“omega”，ω，即超松弛因子。然后选择一个合适的ω，使得S^{-1}T的谱半径尽可能小，这个方法就叫做逐次超松弛方法（Successive over-relaxation method，简称SOR）。
SOR方法的方程是：ωAx=ωb，矩阵S有A的对角线，对角线下是ωA，等式右边T是S-ωA，于是，我们还是使用之前雅可比方法中的例子，得到SOR方程组如下。
\\left\\{\\begin{array}{c}
2 u\_{k+1}=(2-2 \\omega) u\_{k}+\\omega v\_{k}+4 \\omega \\\\\\
\-\\omega u\_{k+1}+2 v\_{k+1}=(2-2 \\omega) v\_{k}-2 \\omega
\\end{array}\\right.$$
是不是看起来更复杂了？
没关系，其实它只是在我们眼中看起来复杂，对计算机来说是没区别的。对SOR来说，只是多了一个$ω$，而$ω$选择越好就越快。具体$ω$的选择，以及迭代的过程就不赘述了，我给你一个小提示，你可以在“$ω$大于1”和“$ω$小于1”两种情况下来多选择几个$ω$进行尝试，最后你应该会得到结论：
1. 在$ω$大于1时，$ω$越大，迭代的次数就越多，收敛速度就越慢，$ω$接近1时，迭代的次数越小，收敛速度越快。
2. 在$ω$小于1时，$ω$越小，迭代的次数就越多，收敛速度就越慢，$ω$接近1时，迭代的次数越小，收敛速度越快。
所以，SOR迭代法的关键就是$ω$的选择，它可以被看作是高斯-赛德尔法的扩充。
雅可比法、高斯-赛德尔法，以及SOR迭代法都是定常迭代法。接下来我讲一下和定常迭代法不同的另一类方法，也是实践中用的比较多的方法——**共轭梯度法**（Conjugate gradient），它属于Krylov子空间方法。简单来说，Krylov子空间方法是一种 “降维打击” 手段，是一种牺牲精度换取速度的方法。
## 共轭梯度法
要讲共轭梯度法，我们要先解释一下“共轭”，共轭就是按一定的规律相配的一对，通俗点说就是孪生。“轭”是牛拉车用的木头，那什么是共轭关系呢？同时拉一辆车的两头牛，就是共轭关系。
我们根据这个定义再来解释一下共轭方向，向量$p, q \\in R$， 若满足条件$pAq=0$， 则称$p$和$q$关于$A$是共轭方向，或者$p$和$q$关于$A$共轭。有了共轭和共轭方向的概念后，再来看共轭梯度法就简单多了。共轭梯度法的出现不仅是为了解决梯度下降法的收敛速度慢，而且也避免了牛顿法需要存储和计算黑塞矩阵（Hessian Matrix）并求逆的缺点。
现在来看看共轭梯度算法，设$Ax=b$，其中$A$是一个实对称正定矩阵。
首先，我们设初始值$x\_{0}$为$0$或者一个估计值，来计算$r\_{0}:=b-A x\_{0}$。如果$r\_{0}$非常小，那$x\_{0}$就是结果，如果不是就继续。
接下来设$p\_{0}:=r\_{0}$，$k:=0$。现在我们开始迭代循环。
a.计算$\\alpha\_{k}$ 。
$$\\alpha\_{k}:=\\frac{r\_{k}^{T} r\_{k}}{p\_{k}^{T} A p\_{k}}$$
b.计算$x\_{k+1}$ 。
$$x\_{k+1}:=x\_{k}+\\alpha\_{k} p\_{k}$$
c.计算$r\_{k+1}$。
$$r\_{k+1}:=r\_{k}-\\alpha\_{k} A p\_{k}$$
d.如果$r\_{k+1}$非常小，循环结束，如果不是就继续。
e.计算$β\_{k}$ 。
$$\\beta\_{k}:=\\frac{r\_{k+1}^{T} r\_{k+1}}{r\_{k}^{T} r\_{k}}$$
f.计算$p\_{k+1}$ 。
$$p\_{k+1}:=r\_{k+1}+\\beta\_{k} p\_{k}$$
g.$k:=k+1$。
4. 返回结果$x\_{k+1}$。
从算法中我们可以看出，共轭梯度法的优点是**存储量小**和**具有步收敛性**。如果你熟悉MATLAB，就会发现共轭梯度法的实现超级简单，只需要短短十几行代码（下方代码来自于MATLAB/GNU Octave的例子）。
```
function x = conjgrad(A, b, x)
r = b - A * x;
p = r;
rsold = r' * r;
for i = 1:length(b)
Ap = A * p;
alpha = rsold / (p' * Ap);
x = x + alpha * p;
r = r - alpha * Ap;
rsnew = r' * r;
if sqrt(rsnew) < 1e-10
break;
end
p = r + (rsnew / rsold) * p;
rsold = rsnew;
end
end
```
## 机器学习中的共轭梯度
共轭梯度法经常被用在训练神经网络中，在实践中已经证明，它是比**梯度下降**更有效的方法，因为就像刚才讲的，它不需要计算黑塞矩阵。那我现在就来讲一讲，使用共轭梯度法的神经网络训练过程。
在整个训练过程中，**参数改进**是重点，当然这也是所有神经网络训练的重点。这个过程是通过计算共轭梯度的训练方向，然后计算训练速率来实现的。在共轭梯度训练算法中，搜索是按共轭方向进行的，也就是说，训练方向是共轭的。所以，收敛速度比梯度下降要快。
现在我们来看训练方向的计算方法。首先，我们设置训练方向向量为$d$，然后，定义一个初始参数向量$w^{0}$，以及一个初始训练方向向量$d^{0}=-g^{0}$，于是，共轭梯度法构造出的训练方向可以表示成：$d^{i+1}=g^{i+1}+d^{i} \\cdot \\gamma^{i}$。
其中，$g$是梯度向量，$γ$是共轭参数。参数通过这个表达式来更新和优化。通常训练速率$\\eta$可使用单变量函数优化方法求得。
$$w^{i+1}=w^{i}+d^{i} \\cdot \\eta^{i}$$
## 本节小结
好了，到这里数值线性代数的迭代法这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。
首先，我先解释了数值线性代数，接着再整体讲解了迭代方法。然后，举了一个线性方程组的例子，运用迭代法中的几个比较著名的实践方法：雅可比方法、高斯-赛德尔方法，以及逐次超松弛方法，来解这个线性方程组。最后，我把共轭梯度法用在了深度学习的神经网络训练中。
希望你能在了解了数值线性代数，以及迭代法后，更多地在计算机科学领域中，运用迭代法做矩阵运算。如果有兴趣，你也可以学习其它在实践中使用的迭代法。
## 线性代数练习场
练习时刻到了，这次继续使用第一篇线性方程组里的例子，你可以挑选任意一个迭代法来求解这个线性方程组。
假设，一个旅游团由孩子和大人组成，去程时他们一起坐大巴，每个孩子的票价3元，大人票价3.2元，总共花费118.4元。回程时一起做火车，每个孩子的票价3.5元，大人票价3.6元，总共花费135.2元。请问这个旅游团中有多少孩子和大人？
设小孩人数为$x\_{1}$，大人人数为$x\_{2}$，于是我们得到了一个方程组：
$$\\left\\{\\begin{array}{c}
3 x\_{1}+3.2 x\_{2}=118.4 \\\\\\
3.5 x\_{1}+3.6 x\_{2}=135.2
\\end{array}\\right.$$
这个方程组的解是：
$$\\left\\{\\begin{array}{l}
x\_{1}=16 \\\\\\
x\_{2}=22
\\end{array}\\right.$$
你可以计算一下多少次迭代后它能收敛，也就是逼近真实解？以及它的错误$e$又分别是多少？
欢迎在留言区晒出的你的运算过程和结果。如果有收获，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。