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# 22 | 如何用仿射变换来移动和旋转3D物体？
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你好，我是月影。
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在前面的课程里，我们学习过使用仿射变换来移动和旋转二维图形。那在三维世界中，想要移动和旋转物体，我们也需要使用仿射变换。
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但是，仿射变换该怎么从二维扩展到三维几何空间呢？今天，我们就来看一下三维仿射变换的基本方法，以及怎么对它进行优化。
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三维仿射变换和二维仿射变换类似，也包括平移、旋转与缩放等等，而且具体的变换公式也相似。
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比如，对于平移变换来说，如果向量$P(x\_{0},y\_{0},z\_{0})$沿着向量 $Q(x\_{1},y\_{1},z\_{1})$平移，我们只需要让$P$加上$Q$，就能得到变换后的坐标。
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$$
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\\left\\{\\begin{array}{l}
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x=x\_{0}+x\_{1} \\\\\\
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y=y\_{0}+y\_{1} \\\\\\
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z=z\_{0}+z\_{1}
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\\end{array}\\right.
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$$
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再比如，对于缩放变换来说，我们直接让三维向量乘上标量，就相当于乘上要缩放的倍数就可以了。最后我们得到的三维缩放变换矩阵如下：
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$$
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M=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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s\_{x} & 0 & 0 \\\\\\
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0 & s\_{y} & 0 \\\\\\
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0 & 0 & s\_{z}
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\\end{array}\\right\]
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$$
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而且，我们也可以使用齐次矩阵来表示三维仿射变换，通过引入一个新的维度，就可以把仿射变换转换为齐次矩阵的线性变换了。
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$$
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M’=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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M & 0 \\\\\\
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0 & 1
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\\end{array}\\right\]
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$$
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这个齐次矩阵，是一个4X4的矩阵，其实它就是我们在[第20节课](https://time.geekbang.org/column/article/269494)提到的模型矩阵（ModelMatrix）。
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总之，对于三维的仿射变换来说，平移和缩放都只是增加一个$z$分量，这和二维放射变换没有什么不同。但对于物体的旋转变换，三维就要比二维稍微复杂一些了。因为二维旋转只有一个参考轴，就是$z$轴，所以二维图形旋转都是围绕着$z$轴的。但是，三维物体的旋转却可以围绕$x、y、z$，这三个轴其中任意一个轴来旋转。
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因此，这节课，我们就把重点放在处理三维物体的旋转变换上。
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## 使用欧拉角来旋转几何体
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我们先来看一下三维物体的旋转变换矩阵：
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$$绕y轴旋转：R\_{y}=\\left\[\\begin{array}{ccc}\\cos \\alpha & 0 & \\sin \\alpha \\\\\\ 0 & 1 & 0 \\\\\\ -\\sin \\alpha & 0 & \\cos \\alpha\\end{array}\\right\]$$
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$$绕x轴旋转：R\_{x}=\\left\[\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\\\ 0 & \\cos \\beta & -\\sin \\beta \\\\\\ 0 & \\sin \\beta & \\cos \\beta\\end{array}\\right\]$$
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$$绕z轴旋转：R\_{z}=\\left\[\\begin{array}{ccc}\\cos \\gamma & -\\sin \\gamma & 0 \\\\\\ \\sin \\gamma & \\cos \\gamma & 0 \\\\\\ 0 & 0 & 1\\end{array}\\right\]$$
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你会看到，我们使用了三个旋转矩阵$Ry、Rx、Rz$来描述三维的旋转变换。这三个旋转矩阵分别表示几何体绕$y$轴、$x$轴、$z$轴转过$α、β、γ$角。而这三个角，就叫做**欧拉角。**
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### 什么是欧拉角？
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那什么是欧拉角呢？欧拉角是描述三维物体在空间中取向的标准数学模型，也是航空航天普遍采用的标准。对于在三维空间里的一个[参考系](https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%82%E7%85%A7%E7%B3%BB/1531482?fromtitle=%E5%8F%82%E8%80%83%E7%B3%BB&fromid=823115&fr=aladdin)，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表示。
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举个例子，下图中这个飞机的飞行姿态，可以由绕$x$轴的旋转角度（翻滚机身）、绕$y$轴的旋转角度（俯仰），以及绕$z$轴的旋转角度（偏航）来表示。
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也就是说，这个飞机的姿态可以由这三个欧拉角来确定。具体的表示公式就是$Rx、Ry、Rz$，这三个旋转矩阵相乘。
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$$M=R\_{y} \\times R\_{x} \\times R\_{z}$$
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这里，我们是按照$Ry、Rx、Rz$的顺序相乘的。而$y-x-z$顺序有一个专属的名字叫做欧拉角的**顺规**，也就是说，我们现在采用的是$y-x-z$顺规。欧拉角有很多种不同的顺规表示方式，一共可以分两种：一种叫做**Proper Euler angles**，包含六种顺规，分别是$z-x-z、x-y-x、y-z-y、z-y-z、x-z-x、y-x-y$；另一种叫做**Tait–Bryan angles**，也包含六种顺规，分别是$x-y-z、y-z-x、z-x-y、x-z-y、z-y-x、 y-x-z$。
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显然，我们采用的 $y-x-z$ 顺规，属于**Tait–Bryan angles。**
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不同的欧拉角顺规虽然表示方法不同，但它们本质上还是欧拉角，都可以表示三维几何空间中的任意取向。所以，我们在绘制三维图形的时候，使用任何一种表示法都可以。今天，我就以$y-x-z$顺规为例来接着讲。
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采用$y-x-z$顺规的欧拉角之后，我们能得到如下的旋转矩阵结果：
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### 如何使用欧拉角来旋转几何体？
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接下来，我们通过一个例子来实际体会，使用欧拉角旋转几何体的具体过程。
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这里，我们还是用OGL框架。OGL的几何网格（Mesh）对象直接支持欧拉角，我们直接用对象的rotation属性就可以设置欧拉角，rotation属性是一个三维向量，它的$x、y、z$坐标就对应围绕$x、y、z$旋转的欧拉角。而且OGL框架默认的欧拉角顺规是$y-x-z$。
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为了增加趣味性，我们不用立方体、圆柱体这些一般几何体，而是旋转一个飞机的几何模型。
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在OGL中，我们可以加载JSON文件，来载入预先设计好的几何模型。
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下面就是我先封装好的，一个加载几何模型的函数。这个函数会载入JSON文件的内容，然后根据其中的数据创建Geometry对象，并返回这个对象。
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```
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async function loadModel(src) {
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const data = await (await fetch(src)).json();
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const geometry = new Geometry(gl, {
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position: {size: 3, data: new Float32Array(data.position)},
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uv: {size: 2, data: new Float32Array(data.uv)},
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normal: {size: 3, data: new Float32Array(data.normal)},
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});
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return geometry;
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}
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```
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这样，我们通过如下指令，就可以加载飞机几何体模型了。
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```
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const geometry = await loadModel('../assets/airplane.json');
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```
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这里的assets/airplane.json是一份几何模型文件，内容类似于下面这样：
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```
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{
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"position": [0.752, 1.061, 0.0, 0.767...],
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"normal": [0.975, 0.224, 0.0, 0.975...],
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"uv": [0.745, 0.782, 0.705, 0.769...]
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}
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```
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其中position、normal、uv是顶点数据，我们比较熟悉，分别是顶点坐标、法向量和纹理坐标。这样的数据一般是由设计工具直接生成的，不需要我们来计算。
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接下来，我们加载飞机的纹理图片，同样要先封装一个加载图片纹理的函数。在函数里，我们用img元素加载图片，然后将图片赋给对应的纹理对象。函数代码如下：
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```
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function loadTexture(src) {
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const texture = new Texture(gl);
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return new Promise((resolve) => {
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const img = new Image();
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img.onload = () => {
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texture.image = img;
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resolve(texture);
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};
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img.src = src;
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});
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}
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```
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接着，我们就可以加载飞机的纹理图片了。具体操作如下：
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```
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const texture = await loadTexture('../assets/airplane.jpg');
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```
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然后，我们在片元着色器中，直接读取纹理图片中的颜色信息：
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precision highp float;
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uniform sampler2D tMap;
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varying vec2 vUv;
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void main() {
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gl_FragColor = texture2D(tMap, vUv);
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}
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```
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最后，我们就能将元素渲染出来了。渲染指令如下：
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const program = new Program(gl, {
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vertex,
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fragment,
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uniforms: {
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tMap: {value: texture},
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},
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});
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const mesh = new Mesh(gl, {geometry, program});
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mesh.setParent(scene);
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renderer.render({scene, camera});
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最终，我们就能得到可以随意调整欧拉角的飞机模型了，效果如下图所示：
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## 如何理解万向节锁？
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使用欧拉角来操作几何体的方向，虽然很简单，但是有一个小缺陷，这个缺陷叫做万向节锁(Gimbal Lock)。那万向节锁是什么呢，我们通过上面的例子来解释。
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你会发现，当我们分别改变飞机的alpha、beta、theta值时，飞机会做出对应的姿态调整，包括偏航（改变alpha）、翻滚（改变beta）和俯仰（改变theta）。
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但是如果我们将beta固定在正负90度，改变alpha和beta，我们会发现一个奇特的现象：
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如上图所示，我们将beta设为90度，不管改变alpha还是改变theta，飞机都绕着$y$轴旋转，始终处于一个平面上。也就是说，本来飞机姿态有$x、y、z$三个自由度，现在$y$轴被固定了，只剩下两个自由度了，这就是万向节锁。
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万向节锁，并不是真的“锁”住。而是在特定的欧拉角情况下，姿态调整的自由度丢失了。而且，只要是欧拉角，不管我们使用哪一种顺规，万向节锁都会存在。这该怎么解决呢？
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要避免万向节锁的产生，我们只能使用其他的数学模型，来代替欧拉角描述几何体的旋转。其中一个比较好的模型是**四元数**（Quaternion）。
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## 使用四元数来旋转几何体
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四元数是一种高阶复数，一个四元数可以表示为：$q = w + xi + yj + zk$。其中，$i、j、k$是三个虚数单位，$w$是标量，它们满足$i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = -1$。如果我们把 $xi + yj + zk$ 看成是一个向量，那么四元数$q$又可以表示为 $q=(v, w)$，其中$v$是一个三维向量。
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我们可以用单位四元数来描述3D旋转。所谓单位四元数，就是其中的参数满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}= 1$。单位四元数对应的旋转矩阵如下：
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$$
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R(q)=\\left\[\\begin{array}{ccc}
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1-2 y^{2}-2 z^{2} & 2 x y-2 z w & 2 x z+2 y w \\\\\\
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2 x y+2 z w & 1-2 x^{2}-2 z^{2} & 2 y z-2 x w \\\\\\
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2 x z-2 y w & 2 y z+2 x w & 1-2 x^{2}-2 y^{2}
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\\end{array}\\right\]
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$$
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这个旋转矩阵的[数学推导过程](https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf)比较复杂，我们只要记住这个公式就行了。
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与欧拉角相比，四元数没有万向节死锁的问题。而且与旋转矩阵相比，四元数只需要四个分量就可以定义，模型上更加简洁。但是，四元数相对来说没有旋转矩阵和欧拉角那么直观。
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### 四元数与轴角
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四元数有一个常见的用途是用来处理**轴角**。所谓轴角，就是在三维空间中，给定一个由单位向量表示的轴，以及一个旋转角度$⍺$，以此来表示几何体绕该轴旋转$⍺$角。
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[](https://zinghd.gitee.io/Att-err3/)
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绕单位向量$u$旋转$⍺$角，对应的四元数可以表示为：$q = (usin(⍺/2), cos(⍺/2))$。接着，我们来看一个四元数处理轴角的例子。
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还是以前面飞机为例，不过，这次我们将欧拉角换成轴角，实现一个updateAxis和updateQuaternion函数，分别更新轴和四元数。
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// 更新轴
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function updateAxis() {
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const {x, y, z} = palette;
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const v = new Vec3(x, y, z).normalize().scale(10);
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points[1].copy(v);
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axis.updateGeometry();
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renderer.render({scene, camera});
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}
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// 更新四元数
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function updateQuaternion(val) {
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const theta = 0.5 * val / 180 * Math.PI;
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const c = Math.cos(theta);
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const s = Math.sin(theta);
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const p = new Vec3().copy(points[1]).normalize();
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const q = new Quat(p.x * s, p.y * s, p.z * s, c);
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mesh.quaternion = q;
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renderer.render({scene, camera});
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}
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然后，我们定义轴， 再把它显示出来。在OGL里面，我们可以通过Polyline对象来绘制轴。代码如下：
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const points = [
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new Vec3(0, 0, 0),
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new Vec3(0, 10, 0),
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];
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const axis = new Polyline(gl, {
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points,
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uniforms: {
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uColor: {value: new Color('#f00')},
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uThickness: {value: 3},
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},
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});
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axis.mesh.setParent(scene);
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```
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那么，随着我们修改轴或者修改旋转角，物体就会绕着轴旋转。效果如下图所示：
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这样，我们就实现了用四元数让飞机沿着某个轴旋转的效果了。这其中最重要的一步，是要你理解怎么根据旋转轴和轴角来计算对应的四元数，也就是updateQuaternion函数里面做的事情。然后我们将这个更新后的四元数赋给飞机的mesh对象，就可以更新飞机的位置，实现飞机绕轴的旋转。我只在课程中给出了关键部分的代码，你可以去GitHub仓库里找到对应例子的完整代码。
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## 要点总结
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今天，我们学习了使用三维仿射变换，来移动和旋转3D物体。三维仿射变换在平移和缩放变换上的绘制方法，与二维仿射变换类似，只不过增加了一个z维度。但是对于旋转变换，三维放射变换就要复杂一些了，因为3D物体可以绕$x、y、z$轴中任意一个方向旋转。
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那想要旋转三维几何体，我们可以使用欧拉角。欧拉角实际上就等于，绕$x、y、z$三个轴方向的旋转矩阵相乘，相乘的顺序就是欧拉角的顺规。
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虽然顺规有很多种，但是选择不同的顺规，只是表达方式不一样，最终结果是等价的，都是欧拉角。那在这节课中，我们采用$y-x-z$顺规，它也是OGL库默认采用的。
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但是欧拉角有一个万向节锁的问题，就是当$β$角旋转到正负90度的时候，我们无论怎么改变$α、γ$角，都只能让物体在一个水平面上运动。而且，只要我们使用欧拉角，就无法避免万向节锁的出现。
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为了避免万向节锁，我们可以用四元数来旋转几何体。除此之外，四元数还有一个作用是可以用来构造轴角，让物体沿着某个具体的轴旋转。你可以回想一下我们刚刚实现的绕轴飞行的飞机。
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## 小试牛刀
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你可以试着利用放射变换，来实现一个旋转的3D陀螺效果。陀螺的形状可以用一个简单的圆锥体来表示。旋转的过程中，你可以让陀螺绕自身的中间轴旋转，也可以让它绕着三维空间某个固定的轴旋转。快来动手试一试吧。效果如下：
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除了旋转的飞机和旋转的陀螺，你还能实现哪些旋转的物体呢？不如也把这篇文章分享给你的朋友们，一起来实现一下吧！
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## 源码
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课程中详细示例代码[GitHub仓库](https://github.com/akira-cn/graphics/tree/master/3d-model)
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## 推荐阅读
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\[1\] [进一步理解欧拉角](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles)
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\[2\] [欧拉角的不同表示方法参考文档](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles)
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\[3\] [四元数与三维旋转](https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf)
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\[4\] [三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换](https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840)
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