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# 38 | 矩阵（下）：如何使用矩阵操作进行协同过滤推荐？
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你好，我是黄申。今天我们来聊聊矩阵操作和推荐算法的关系。
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我这里说的推荐，是指为用户提供可靠的建议、并协助用户挑选物品的一种技术。一个好的推荐系统需要建立在海量数据挖掘基础之上，并根据用户所处的情景和兴趣特点，向用户推荐可能感兴趣的信息和商品。
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协同过滤（Collaborative Filtering）是经典的推荐算法之一，它充分利用了用户和物品之间已知的关系，为用户提供新的推荐内容。我会从这种二元关系出发，给你讲讲如何使用矩阵计算，来实现协同过滤推荐算法。
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## 用矩阵实现推荐系统的核心思想
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矩阵中的二维关系，除了可以表达图的邻接关系，还可以表达推荐系统中用户和物品的关系。如果你不懂推荐系统，不用急，我这里先给你简单讲讲它的核心思想。
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简单地理解就是，推荐系统会根据用户所处的场景和个人喜好，推荐他们可能感兴趣的信息和商品。比如，你在阅读一部电影的影评时，系统给你推荐了其他“你可能也感兴趣的电影”。可以看出来，推荐系统中至少有2个重要的角色：用户和物品。用户是系统的使用者，物品就是将要被推荐的候选对象。
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例如，亚马逊网站的顾客就是用户，网站所销售的商品就是物品。需要注意的是，除了用户角色都是现实中的自然人，某些场景下被推荐的物品可能也是现实中的自然人。例如，一个招聘网站会给企业雇主推荐合适的人才，这时候应聘者承担的是物品角色。
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而一个好的推荐算法，需要充分挖掘用户和物品之间的关系。我们可以通过矩阵来表示这种二元关系。我这里有一个例子，我们用矩阵$X$来表示用户对物品喜好程度。
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其中第$i$行是第$i$个用户的数据，而第j列是用户对第j个物品的喜好程度。我们用$x\_{i,j}$表示这个数值。这里的喜好程度可以是用户购买商品的次数、对书籍的评分等等。
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假设我们用一个0到1之间的小数表示。有了这种矩阵，我们就可以通过矩阵的操作，充分挖掘用户和物品之间的关系。下面，我会使用经典的协同过滤算法，来讲解矩阵在其中的运用。
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在此之前，我们先来看什么是协同过滤。你可以把它理解为最直观的“口口相传”。假设我们愿意接受他人的建议，尤其是很多人都向你建议的时候。其主要思路就是利用已有用户群过去的行为或意见，预测当前用户最可能喜欢哪些东西。根据推荐依据和传播的路径，又可以进一步细分为基于用户的过滤和基于物品的过滤。
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## 基于用户的过滤
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首先，我们来看基于用户的协同过滤。它是指给定一个用户访问（我们假设有访问就表示有兴趣）物品的数据集合，找出和当前用户历史行为有相似偏好的其他用户，将这些用户组成“近邻”，对于当前用户没有访问过的物品，利用其近邻的访问记录来预测。我画了一张图方便你理解。
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根据这张图的访问关系来看，用户A访问了物品A和C，用户B访问了物品B，用户C访问了物品A，C和D。我们计算出来，用户C是A的近邻，而B不是。因此系统会更多地向用户A推荐用户C访问的物品D。
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理解了这个算法的基本概念，我们来看看如何使用公式来表述它。假设有m个用户，n个物品，那么我们就能使用一个m×n维的矩阵$X$来表示用户对物品喜好的二元关系。基于这个二元关系，我们可以列出下面这两个公式：
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其中，第一个公式比较容易理解，它的核心思想是计算用户和用户之间的相似度。完成了这一步我们就能找到给定用户的“近邻”。
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我们可以使用向量空间模型中的距离或者是夹角余弦来处理，在这里我使用了夹角余弦，其中$us\_{i1}$,$i2$表示用户$i1$和$i2$的相似度，而$X\_{i1}$,表示矩阵中第$i1$行的行向量，$X\_{i2}$,表示矩阵中第$i2$行的行向量。分子是两个表示用户的行向量之点乘，而分母是这两个行向量$L2$范数的乘积。
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第二个公式利用第一个公式所计算的用户间相似度，以及用户对物品的喜好度，预测任一个用户对任一个物品的喜好度。其中$p\_{i,j}$表示第$i$用户对第$j$个物品的喜好度，$us\_{i,k}$表示用户$i$和$k$之间的相似度，$x\_{k,j}$表示用户$k$对物品$j$的喜好度。注意这里最终需要除以$Σus\_{i,k}$，是为了进行归一化。
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从这个公式可以看出，如果$us\_{i,k}$越大，$x\_{k,j}$对最终$p\_{i,j}$的影响越大，反之如果$us\_{i,k}$越小，$x\_{k,j}$对最终$p\_{i,j}$的影响越小，充分体现了“基于相似用户”的推荐。
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如果你无法理解如何把这两个公式对应为矩阵操作，没关系，我下面会通过之前介绍的喜好度矩阵$X$的示例，把这两个公式逐步拆解，并对应到矩阵上的操作，你一看就能明白了。
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首先，我们来看第一个关于夹角余弦的公式。
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在介绍向量空间模型的时候，我提到夹角余弦可以通过向量的点乘来实现。这对矩阵同样适用，我们可以采用矩阵点乘自身的转置来实现，也就是$XX’$。矩阵$X$的每一行是某个用户的行向量，每个分量表示用户对某个物品的喜好程度。而矩阵$X’$的每一列是某个用户的列向量，每个分量表示用户对某个物品的喜好程度。
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我们假设$XX’$的结果为矩阵$Y$，那么$y\_{i,j}$就表示用户$i$和用户$j$这两者喜好度向量的点乘结果，它就是夹角余弦公式中的分子。如果$i$等于$j$，那么这个计算值也是夹角余弦公式分母的一部分。从矩阵的角度来看，$Y$中任何一个元素都可能用于夹角余弦公式的分子，而对角线上的值会用于夹角余弦公式的分母。这里我们仍然使用之前的喜好度矩阵示例，来计算矩阵$Y$和矩阵$US$。
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首先我们来看$Y$的计算。
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然后我们使用$Y$来计算$US$。我用下面这张图表示矩阵中的元素和夹角余弦计算的对应关系。
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明白了上面这个对应关系，我们就可以利用矩阵$Y$，获得任意两个用户之间的相似度，并得到一个m×m维的相似度矩阵$US$。矩阵$US$中$us\_{i,j}$的取值为第$i$个用户与第$j$个用户的相似度。这个矩阵是一个沿对角线对称的矩阵。根据夹角余弦的定义，$us\_{i,j}$和$us\_{j,i}$是相等的。通过示例的矩阵$Y$，我们可以计算矩阵$US$。我把相应的结果列在了下方。
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接下来，我们再来看第二个公式。
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从矩阵的角度来看，现在我们已经得到用户相似度矩阵$US$，再加上用户对物品的喜好度矩阵$X$，现在需要计算任意用户对任意物品的喜好度推荐矩阵$P$。
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为了实现上面这个公式的分子部分，我们可以使用$US$和$X$的点乘。我们假设点乘后的结果矩阵为$USP$。这里我列出了根据示例计算得到的矩阵$USP$。
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分母部分可以使用$US$矩阵的按行求和来实现。我们假设按行求和的矩阵为$USR$。根据示例计算就可以得到$USR$。
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最终，我们使用$USP$和\*$USR$的元素对应除法，就可以求得矩阵$P$。
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既然已经有$X$这个喜好度矩阵了，为什么还要计算$P$这个喜好度矩阵呢？实际上，$X$是已知的、有限的喜好度。例如用户已经看过的、购买过的、或评过分的物品。而$P$是我们使用推荐算法预测出来的喜好度。
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即使一个用户对某个物品从未看过、买过、或评过分，我们依然可以通过矩阵$P$，知道这位用户对这个物品大致的喜好程度，从而根据这个预估的分数进行物品的推荐，这也是协同过滤的基本思想。从根据示例计算的结果也可以看出这点，在原始矩阵$X$中第1个用户对第3个物品的喜好度为0。可是在最终的喜好度推荐矩阵P中，第1个用户对第3个物品的喜好度为0.278，已经明显大于0了，因此我们就可以把物品3推荐给用户1。
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上面这种基于用户的协同过滤有个问题，那就是没有考虑到用户的喜好程度是不是具有可比性。假设用户的喜好是根据对商品的评分来决定的，有些用户比较宽容，给所有的商品都打了很高的分，而有些用户比较严苛，给所有商品的打分都很低。分数没有可比性，这就会影响相似用户查找的效果，最终影响推荐结果。这个时候我们可以采用之前介绍的特征值变化，对于原始的喜好度矩阵，按照用户的维度对用户所有的喜好度进行归一化或者标准化处理，然后再进行基于用户的协同过滤。
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## 基于物品的过滤
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基于物品的协同过滤是指利用物品相似度，而不是用户间的相似度来计算预测值。我同样用图来帮助你理解。
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在这张图中，物品A和C因为都被用户A和B同时访问，因此它们被认为相似度更高。当用户C访问过物品A后，系统会更多地向用户推荐物品C，而不是其他物品。
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基于物品的协同过滤同样有两个公式，你可以看一下。
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如果你弄明白了基于用户的过滤，那么这两个公式也就不难理解了。第一个公式的核心思想是计算物品和物品之间的相似度，在这里我仍然使用夹角余弦。其中$is\_{j1}$,$j2$表示物品$j1$和$j2$的相似度，而$X\_{j1}$表示了$X$中第$j1$列的列向量，而$X\_{j2}$表示了$X$中第$j2$列的列向量。分子是两个表示物品的列向量之点乘，而分母是这两个列向量$L2$范数的乘积。
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第二个公式利用第一个公式所计算的物品间相似度，和用户对物品的喜好度，预测任一个用户对任一个物品的喜好度。其中$p\_{i,j}$表示第$i$用户对第$j$个物品的喜好度，$x\_{i,k}$表示用户$i$对物品$k$的喜好度，$is\_{k,j}$表示物品$k$和$j$之间的相似度，注意这里除以$Σis\_{k,j}$是为了进行归一化。从这个公式可以看出，如果$is\_{k,j}$越大，$x\_{i,k}$对最终$p\_{i,j}$的影响越大，反之如果$is\_{k,j}$越小，$x\_{i,k}$对最终$p\_{i,j}$的影响越小，充分体现了“基于相似物品”的推荐。
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类似地，用户喜好程度的不一致性，同样会影响相似物品查找的效果，并最终影响推荐结果。我们也需要对于原始的喜好度矩阵，按照用户的维度对用户的所有喜好度，进行归一化或者标准化处理。
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## 总结
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今天我首先简要地介绍了推荐系统的概念和主要思想。为了给用户提供可靠的结果，推荐系统需要充分挖掘历史数据中，用户和物品之间的关系。协同过滤的推荐算法就很好地体现了这一点。
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一旦涉及用户和物品的这种二元关系，矩阵就有用武之地了。我通过矩阵来表示用户和物品的关系，并通过矩阵计算来获得协同过滤的结果。协同过滤分为基于用户的过滤和基于物品的过滤两种，它们的核心思想都是相同的，因此矩阵操作也是类似的。在这两个应用场景下，矩阵点乘体现了多个用户或者物品之间的相似程度，以及聚集后的相似程度所导致的最终推荐结果。
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当然，基于用户和物品间关系的推荐算法有很多，对矩阵的操作也远远不止点乘、按行求和、元素对应乘除法。我后面会介绍如何使用矩阵的主成分分析或奇异值分解，来进行物品的推荐。
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## 思考题
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我在介绍推荐算法时，提到了基于物品的协同过滤。请参照基于用户的协同过滤，写出相应的矩阵操作步骤。
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