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17 | 数据结构（下）：大整数实战，提升 Shift-And 算法能力
你好，我是胡光，咱们又见面了。
上节课呢，我们讲了大整数表示法的相关知识，并且给你演示了大整数加法及乘法处理过程。其实，你是否掌握了大整数表示法是次要的，主要是你可以在这个过程中，认识到数据结构的作用，也就是我强调的数据结构就是负责表示数据。
原先，我们之所以无法做较大整数的运算，那是因为我们所掌握的数据类型，无法表示很大的数字，有了大整数表示法以后，我们就可以做特别特别大的整数表示了。
我之前也一直在说，算法是做数据计算的，它和数据结构是程序设计中非常重要的两部分。既然是两部分，说明算法和数据结构可以独立分开设计。
关于这点呢，你可以想想上节课我们学的大整数加法，它其实就是算法。为什么这么说呢？你想想，这个加法过程难道是有了大整数以后，才出现的么？显然不是，即使没有大整数表示法，我们还是了解加法过程的，只不过这一次我们用大整数表示法，模拟了加法过程。因此，加法过程是一个独立的算法过程。
总而言之，就是在之前的课程中，我们确定了这样一个结论：如果是计算流程不合理，我们需要改进算法；如果是数据表示受限，我们需要求助于数据结构。
为了让你更清晰地认识到，算法和数据结构是两个可以独立设计的部分，今天我们通过一个具体的算法，来感受一下这个独立设计的过程。
字符串匹配问题
首先让我们来了解一个概念，那就是“字符串匹配问题”。什么意思呢？简单来说，就是在一个大的字符串里面，查找是否包含另外一个较小的字符串。
如图所示，我们做的就是在字符串cjakjoek中，查找是否包含字符串kjo，其中，我们把这个cjakjoek字符串叫做文本串，kjo字符串叫做模式串。再举个例子，你手中有一篇英文文档，你想在这个文档中查找所有的 hello 单词。那么，英文文档就是我们所说的文本串，hello 就是模式串。
如果模式串是单独的一个，我们就称这种问题为“单模匹配问题”，如果模式串是多个，那就是“多模匹配问题”。我们今天重点讨论的是“单模匹配问题”。
如果给你一个文本串和模式串，让你查找文本串中是否包含模式串，你用程序怎么完成？最直观的做法，就是用模式串的首字母依次和文本串中的每一位对齐，每次对齐以后，看看所对应区域是否匹配，如果匹配就说明文本串包含模式串。
下面我给出这个方法的程序代码：
// 暴力匹配算法程序
int bruce_force(const char *text, const char *p) {
// 遍历文本串每一位
for (int i = 0; text[i]; i++) {
int flag = 1;
// 从文本串的第 i 位开始与模式串进行匹配
for (int j = 0; p[j]; j++) {
if (text[i + j] == p[j]) continue;
// 当代码到了这里，说明某一位不匹配
flag = 0;
break;
}
if (flag) return 1;
}
return 0;
}
正如你所看到的，这是最简单粗暴的方法。代码中的 bruce_force 程序，就是暴力匹配算法的过程，其中参数 text 就是文本串，p 就是模式串，如果包含模式串，函数返回值是 1，如果不包含，返回值就是 0。
这个程序的效率，可以说是单模匹配的所有算法中最差的了，它的时间复杂度是 O(nm)，其中，n 是文本串的长度，m 是模式串的长度。怎么理解呢？就是如果文本串长度是10，模式串长度是 3，那么这个程序差不多要计算30次，外层循环10次，内层循环每次循环 3 次。
按照这个理解，可以设想，当文本串长度是 10000，模式串长度是 1000 的时候，程序的运行次数是接近1000万次这个量级的！所以这种程序的效率最差。
初识 Shift-And 算法
其实，可以高效解决“单模匹配问题” 的算法有很多。今天，我们来学习一种叫做 Shift-And 的算法。
看到 Shift 你会想到什么？是不是电脑键盘上的 Shift 键？我们知道，这个键的作用是做转换，例如当你按住 Shift + 8 的时候，输入的就不是数字 8，而是一个 *。
而 Shift-And 中的另一个单词 And ，其实指代的是位运算中的按位与操作。这两个单词，差不多清晰展示了这个算法的基本流程：首先做信息的转换，然后利用位运算，完成单模匹配问题。下面，我们就来具体对这两步做下讲解。
1. Shift-And 中的信息转换
在 Shift-And 算法中，是将模式串的信息，转换成另外一个种信息格式，如何转换呢？如下图所示：
在 Shift-And 中，我们可以把模式串中的每一个字符，转换成一个数字，这个数字一般是由二进制表示。关于转换字符的编码有这么一个规则，就是如果某个字符在模式串的第 i 位中出现过，那么在相关字符编码的二进制数字表示中的第 i 位就为 1。
例如，图中字符 a，在模式串的第 0 位，第 5 位和第 6 位出现过，那么就将 a 字符编码的第 0、5、6 位设置为 1。在这里你需要注意的是，字符数组是从左向右看，也就是说最左边是最低位；而数字是从右向左看的，最右边才是最低位，这里是最容易犯糊涂的地方。
字符 c 呢，由于在第1位和第4位出现过，所以对应到二进制数字中，第1位和第 4 位都是 1，其余位置都是 0。按照这种规则呢，你会发现，没有在模式串中出现的字符，编码值就是 0 值，也就是它的所有二进制位上都是 0。
所以，在 Shift-And 算法中，通过看一个字符的编码，就能知道这个字符，在原模式串的第几位出现过。同时，通过模式串可以生成的编码信息，也可以还原模式串信息。
在之前的课程中，我们讲过类似的概念，一般来说，这种可以相互转换的信息，叫做等价信息表示。说白了就是信息一点儿也没少，只是换了一种表示形式。要想理解 Shift-And 算法，首先就要理解这种等价的信息表示方法。
2.利用位运算做匹配
讲完了信息转换步骤后，我们明确了一个事情，就是 Shift-And 算法中，只是对模式串做了信息转换，但对文本串本质内容没有做任何改动。接下来，我们就来讲解 Shift-And 算法中的 And 部分，也就是来回答 Shift-And 算法，究竟是怎么用位运算来做字符串匹配的。先看下图：
在图中，有一个最关键的，就是 p 变量，它是整个匹配过程的核心变量。我们假设模式串的长度是 m ，code(str[i]) 代表了文本串第 i 位字符的编码，编码方式前面已经介绍过了。整个匹配过程，从前往后，依次处理文本串的每一位，处理到第 i 位的时候，就是用第 i 位字符的编码（code（str[i])），与 p 左移 1 位并或上 1 以后的值（p<< 1 | 1），做“按位与”运算，把得到的值赋给 p 变量。最终，当 p 的二进制表示的第 m 位为 1 时，说明匹配成功了。
为了帮助你理解，我给你准备了一个具体示例，下图是模拟了当模式串为 cdd，文本串为 acdd 时候的匹配流程：
要想理解这个匹配过程，首先就是需要注意到 ，变量 p 在第四步的时候，二进制表示的第 3 位为 1 了，说明此时截止到文本串 acdd 的第 4 位为止，匹配到了原模式串 cdd。这个过程，你需要仔细琢磨琢磨，然后再往下看。
接下来我们来讨论一般情况下的 p 值，如果模式串长度为 m，那么在什么情况下，p 值的第 m 位为 1 呢？
由算法中的 p 值计算公式可知，p 是由“按位与”操作得到的值，也就是说，其中一部分 code(str[i]) 的二进制的第 m 位必须为 1，这就意味着 str[i] 是模式串第 m 位的字符。并且为了p 值的第m位为1，按位与的另一边 (p << 1 | 1) 这个值的第 m 位也必须是 1。
关于 (p << 1 | 1) 这一部分中，或 1 操作，只能影响二进制的最低位，我们可以暂时忽略它。关键就是理解 p << 1 这个操作，左移以后的第 m 位为1，说明左移之前，p 的二进制表示的 m - 1 位也是 1。
通过分析上一轮 p 的二进制表示的 m - 1 位为什么是 1 时，你会推理得到 str[i - 1] 必须是模式串 m - 1 位的字符。依次类推，你就会得到一个结论：文本串 str 的第 i - m 位，到第 i 位之间的字符串，其实就等于原模式串的内容。下面给你准备了一个示意图：
其中 p\_m 代表 p 的二进制表示的第 m 位为 1，p\_{m-1} 表示 p 的二进制表示的第 m-1 位为 1。因为只有第 m-1 位为 1，才可能左移 1 位以后的结果第 m 位为 1。
最后我们来解释一下，为什么 p 左移 1 位以后，还需要或上一个 1 。其实也很好理解，如果 str[i] 是模式串的第 0 位字符，那么 p 在什么情况下，第 0 位是 1 ？你会发现，根据之前推理，只有在上一个状态 p 的 -1 位为 1 的时候，左移以后第 0 位才可能是 1。
但我们知道，根本没有 -1 位这个位置，也就是说，如果不看或 1 操作的话，一个初值为 0 的 p 变量，想通过单纯的左移操作，第 0 位永远不可能是 1。所以这个或 1 操作，其实就是为了使得 p 左移以后的第 0 位永远置为 1，而最终计算结果中的第 0 位是否为 1，这个要看 str[i] 这个字符是否在模式串的第 0 位出现过。
关于 Shift-And 算法这个知识点呢，我大致解释完了。你在学习这块知识的时候，可能感觉有点难，没准读完第一遍的时候，脑子都是懵的。但请相信我，也相信你自己，把这几段内容多看几遍，遇到不理解的句子，停下来多思考思考，看的次数多了，你就明白是什么意思了。
至此呢，我们就学习完了 Shift-And 算法的两个重要的过程。代码实现呢，如下所示：
int shift_and(const char *str, const char *p_str) {
int code[256] = {0}, m = 0;
// 初始化每一个字符的编码
for (int i = 0; p_str[i]; i++, m++) {
code[p_str[i]] |= (1 << i);
}
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
p = (p << 1 | 1) & code[str[i]];
// 如果 p 所对应的模式串最高位为1，代表匹配成功
if (p & (1 << (m - 1))) return 1;
}
return 0;
}
在这份代码中，你会发现我们只用了两次循环，注意！是两次循环，而不是两层循环。一次循环是遍历模式串，生成编码 code 信息，第二次循环是遍历文本串 str，循环迭代得到 p 变量的值，直到 p 变量的第 m 位为 1 时，就代表匹配成功。
可以看到，这种算法的时间复杂度，和暴力匹配算法比起来，提升的不是一星半点。暴力算法是 O(nm) 的，而 Shift-And 算法的时间复杂度就是 O(n + m) 的。也就意味着，同样是文本串 10000 的长度，模式串 1000 长度，Shift-And 算法，是暴力匹配算法效率的 1000 倍！
改进 Shift-And 算法
说是 1000 倍，细心的你可能会发现一个问题，上述算法中的 p 变量，是一个整型变量，也就是说，p 变量最多支持，模式串长度不超过 32 位的单模匹配问题。
请你想想，这个问题究竟是出在算法上，还是出在数据结构上？答案很显然，是出在数据结构上。要是有一种数据结构，支持很大的二进制整数表示，同时在这种结构的数据上，还可以操作左移、或运算以及按位与运算的话，这种结构就可以取代原有整型 p 变量的作用。这样，我们就可以支持长度更长的模式串的匹配问题了！
所以今天给你留的作业呢，就是请你在尽量不修改算法流程的情况下，增加一个类型结构，实现可以处理 1000 位模式串的 Shift-And 算法。欢迎你把自己的答案写在留言区，我们一起来讨论实现方法。
课程小结
通过今天这堂课呢，我希望你彻底体会到，算法和数据结构是程序设计的两个部分，并且它们可以单独来进行学习、设计和实现。
如果说，今天想让你记住点儿什么的话，那就是：等价信息表示对于解决问题很重要。这个事情不只是对于程序设计而言，很多事情都是这样。同等的信息，不同的表示形式，其实就是不同的观察角度，最终的效果也会截然不同。就像今天的 Shift-And 算法，对于模式串的信息，做了一个等价转换以后，整个算法的时间复杂度就被优化了一个数量级，这个过程值得你花时间去仔细体会。
本节课，也是我们整个“编码能力训练篇”的最后一节了，我希望你通过这部分知识的学习，掌握计算思维，以及程序设计的核心法门。下一章节，我不再赘述算法和数据结构的重要性，而是请你带着在“编码能力训练篇”掌握的技巧，随我进入“算法与数据结构篇”的学习吧！
好了，今天就到这里了，我是胡光，我们下章见。