# 16 | NFA和DFA：如何自己实现一个正则表达式工具？

    回顾之前讲的内容，原理篇重在建立直观理解，帮你建立信心，这是第一轮的认知迭代。应用篇帮你涉足应用领域，在解决领域问题时发挥编译技术的威力，积累运用编译技术的一手经验，也启发你用编译技术去解决更多的领域问题，这是第二轮的认知迭代。而为时三节课的算法篇将你是第三轮的认知迭代。

在第三轮的认知迭代中，我会带你掌握前端技术中的核心算法。而本节课，我就借“怎样实现正则表达式工具？”这个问题，探讨第一组算法：**与正则表达式处理有关的算法。**

在词法分析阶段，我们可以手工构造有限自动机（FSA，或FSM）实现词法解析，过程比较简单。现在我们不再手工构造词法分析器，而是直接用正则表达式解析词法。

你会发现，我们只要写一些规则，就能基于这些规则分析和处理文本。这种能够理解正则表达式的功能，除了能生成词法分析器，还有很多用途。比如Linux的三个超级命令，又称三剑客（grep、awk和sed），都是因为能够直接支持正则表达式，功能才变得强大的。

接下来，我就带你完成编写正则表达式工具的任务，与此同时，你就能用正则文法生成词法分析器了：

**首先，**把正则表达式翻译成非确定的有限自动机（Nondeterministic Finite Automaton，NFA）。  
**其次，**基于NFA处理字符串，看看它有什么特点。  
**然后，**把非确定的有限自动机转换成确定的有限自动机（Deterministic Finite Automaton，DFA）  
**最后，**运行DFA，看看它有什么特点。

强调一下，不要被非确定的有限自动机、确定的有限自动机这些概念吓倒，我肯定让你学明白。

## 认识DFA和NFA

在讲词法分析时，我提到有限自动机（FSA）有有限个状态。识别Token的过程，就是FSA状态迁移的过程。其中，FSA分为**确定的有限自动机（DFA）**和**非确定的有限自动机（NFA）。**

**DFA的特点是，**在任何一个状态，我们基于输入的字符串，都能做一个确定的转换，比如：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/15/35/15da400d09ede2ce6ac60fa6d5342835.jpg)

**NFA的特点是，**它存在某些状态，针对某些输入，不能做一个确定的转换，这又细分成两种情况：

*   对于一个输入，它有两个状态可以转换。
*   存在ε转换。也就是没有任何输入的情况下，也可以从一个状态迁移到另一个状态。

比如，“a\[a-zA-Z0-9\]\*bc”这个正则表达式对字符串的要求是以a开头，以bc结尾，a和bc之间可以有任意多个字母或数字。在图中状态1的节点输入b时，这个状态是有两条路径可以选择的，所以这个有限自动机是一个NFA。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/9b/e8/9bf26739958568453cceeb6f209da2e8.jpg)

这个NFA还有引入ε转换的画法，它们是等价的。实际上，第二个NFA可以用我们今天讲的算法，通过正则表达式自动生成出来。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/9b/09/9bb22ee26309b3076db53fee34112009.jpg)

需要注意的是，无论是NFA还是DFA，都等价于正则表达式。也就是，所有的正则表达式都能转换成NFA或DFA，所有的NFA或DFA，也都能转换成正则表达式。

理解了NFA和DFA之后，来看看我们如何从正则表达式生成NFA。

## 从正则表达式生成NFA

我们需要把它分为两个子任务：

**第一个子任务，**是把正则表达式解析成一个内部的数据结构，便于后续的程序使用。因为正则表达式也是个字符串，所以要先做一个小的编译器，去理解代表正则表达式的字符串。我们可以偷个懒，直接针对示例的正则表达式生成相应的数据结构，不需要做出这个编译器。

用来测试的正则表达式可以是int关键字、标识符，或者数字字面量：

```
int | [a-zA-Z][a-zA-Z0-9]* | [0-9]+

```

我用下面这段代码创建了一个树状的数据结构，来代表用来测试的正则表达式：

```
private static GrammarNode sampleGrammar1() {
    GrammarNode node = new GrammarNode("regex1",GrammarNodeType.Or);

    //int关键字
    GrammarNode intNode = node.createChild(GrammarNodeType.And);
    intNode.createChild(new CharSet('i'));
    intNode.createChild(new CharSet('n'));
    intNode.createChild(new CharSet('t'));

    //标识符
    GrammarNode idNode = node.createChild(GrammarNodeType.And);
    GrammarNode firstLetter = idNode.createChild(CharSet.letter);

    GrammarNode letterOrDigit = idNode.createChild(CharSet.letterOrDigit);
    letterOrDigit.setRepeatTimes(0, -1);


    //数字字面量
    GrammarNode literalNode = node.createChild(CharSet.digit);
    literalNode.setRepeatTimes(1, -1);

    return node;
}

```

打印输出的结果如下：

```
RegExpression
	Or
		Union
			i
			n
			t
		Union
			[a-z]|[A-Z]
			[0-9]|[a-z]|[A-Z]*
		[0-9]+

```

画成图会更直观一些：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/a6/8e/a6af22cdcb96ba92fe9df35bf998768e.jpg)

测试数据生成之后，**第二个子任务**就是把表示正则表达式的数据结构，转换成一个NFA。这个过程比较简单，因为针对正则表达式中的每一个结构，我们都可以按照一个固定的规则做转换。

*   识别ε的NFA：

> 不接受任何输入，也能从一个状态迁移到另一个状态，状态图的边上标注ε。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/0d/ed/0d11ad629f809a94ff091199f27661ed.jpg)

*   识别i的NFA：

> 当接受字符i的时候，引发一个转换，状态图的边上标注i。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/fe/bc/fe3edc36b5bd69e88eebcd0d28aa4abc.jpg)

*   转换“s|t”这样的正则表达式：

> 它的意思是或者s，或者t，二者选一。s和t本身是两个子表达式，我们可以增加两个新的状态：**开始状态和接受状态（最终状态）**也就是图中带双线的状态，它意味着被检验的字符串此时是符合正则表达式的。然后用ε转换分别连接代表s和t的子图。它的含义也比较直观，要么走上面这条路径，那就是s，要么走下面这条路径，那就是t。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/19/95/197071ebe504889264cf8c955d112895.jpg)

*   转换“st”这样的正则表达式：

> s之后接着出现t，转换规则是把s的开始状态变成st整体的开始状态，把t的结束状态变成st整体的结束状态，并且把s的结束状态和t的开始状态合二为一。这样就把两个子图接了起来，走完s接着走t。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/95/0b/9504b495df0de1cc59ef8d8357c49e0b.jpg)

*   对于“?”“\*”和“+”这样的操作：

> 意思是可以重复0次、0到多次、1到多次，转换时要增加额外的状态和边。

以“s\*”为例，做下面的转换：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/40/c5/409d889a2c811221a0cfdd81f32df4c5.jpg)

你能看出，它可以从i直接到f，也就是对s匹配零次，也可以在s的起止节点上循环多次。

*   “s+”：

> 没有办法跳过s，s至少经过一次。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/a7/07/a753fb42e82341d381c3cbca0247b007.png)

按照这些规则，我们可以编写程序进行转换。你可以参考示例代码[Regex.java](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Regex.java)中的regexToNFA方法。转换完毕以后，将生成的NFA打印输出，列出了所有的状态，以及每个状态到其他状态的转换，比如“0 ε -> 2”的意思是从状态0通过ε转换，到达状态2 ：

```
NFA states:
0	ε -> 2
	ε -> 8
	ε -> 14
2	i -> 3
3	n -> 5
5	t -> 7
7	ε -> 1
1	(end)
	acceptable
8	[a-z]|[A-Z] -> 9
9	ε -> 10
	ε -> 13
10	[0-9]|[a-z]|[A-Z] -> 11
11	ε -> 10
	ε -> 13
13	ε -> 1
14	[0-9] -> 15
15	ε -> 14
	ε -> 1

```

我用图片直观地展示了输出结果，图中分为上中下三条路径，你能清晰地看出解析int关键字、标识符和数字字面量的过程：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/3d/9b/3defa4a1d7ce789b6c6cfecdfbf8179b.jpg)

生成NFA之后，如何利用它识别某个字符串是否符合这个NFA代表的正则表达式呢？

以上图为例，当我们解析intA这个字符串时，首先选择最上面的路径去匹配，匹配完int这三个字符以后，来到状态7，若后面没有其他字符，就可以到达接受状态1，返回匹配成功的信息。可实际上，int后面是有A的，所以第一条路径匹配失败。

失败之后不能直接返回“匹配失败”的结果，因为还有其他路径，所以我们要回溯到状态0，去尝试第二条路径，在第二条路径中，尝试成功了。

运行Regex.java中的matchWithNFA()方法，你可以用NFA来做正则表达式的匹配：

```
/**
 * 用NFA来匹配字符串
 * @param state 当前所在的状态
 * @param chars 要匹配的字符串，用数组表示
 * @param index1 当前匹配字符开始的位置。
 * @return 匹配后，新index的位置。指向匹配成功的字符的下一个字符。
 */
private static int matchWithNFA(State state, char[] chars, int index1){
    System.out.println("trying state : " + state.name + ", index =" + index1);

    int index2 = index1;
    for (Transition transition : state.transitions()){
        State nextState = state.getState(transition);
        //epsilon转换
        if (transition.isEpsilon()){
            index2 = matchWithNFA(nextState, chars, index1);
            if (index2 == chars.length){
                break;
            }
        }
        //消化掉一个字符，指针前移
        else if (transition.match(chars[index1])){
            index2 ++; //消耗掉一个字符

            if (index2 < chars.length) {
                index2 = matchWithNFA(nextState, chars, index1 + 1);
            }
            //如果已经扫描完所有字符
            //检查当前状态是否是接受状态，或者可以通过epsilon到达接受状态
            //如果状态机还没有到达接受状态，本次匹配失败
            else {
                if (acceptable(nextState)) {
                    break;
                }
                else{
                    index2 = -1;
                }
            }
        }
    }

    return index2;
}

```

其中，在匹配“intA”时，你会看到它的回溯过程：

```
NFA matching: 'intA'
trying state : 0, index =0
trying state : 2, index =0    //先走第一条路径，即int关键字这个路径
trying state : 3, index =1
trying state : 5, index =2
trying state : 7, index =3
trying state : 1, index =3    //到了末尾了，发现还有字符'A'没有匹配上
trying state : 8, index =0    //回溯，尝试第二条路径，即标识符
trying state : 9, index =1
trying state : 10, index =1   //在10和11这里循环多次
trying state : 11, index =2
trying state : 10, index =2
trying state : 11, index =3
trying state : 10, index =3
true

```

**从中可以看到用NFA算法的特点：**因为存在多条可能的路径，所以需要试探和回溯，在比较极端的情况下，回溯次数会非常多，性能会变得非常慢。特别是当处理类似s\*这样的语句时，因为s可以重复0到无穷次，所以在匹配字符串时，可能需要尝试很多次。

注意，在我们生成的NFA中，如果一个状态有两条路径到其他状态，算法会依据一定的顺序来尝试不同的路径。

9和11两个状态都有两条向外走的线，其中红色的线是更优先的路径，也就是尝试让\*号匹配尽量多的字符。这种算法策略叫做“贪婪（greedy）”策略。

在有的情况下，我们会希望让算法采用非贪婪策略，或者叫“忽略优先”策略，以便让效率更高。有的正则表达式工具会支持多加一个?，比如??、\*?、+?，来表示非贪婪策略。

NFA的运行可能导致大量的回溯，所以能否将NFA转换成DFA，让字符串的匹配过程更简单呢？如果能的话，那整个过程都可以自动化，从正则表达式到NFA，再从NFA到DFA。

## 把NFA转换成DFA

的确有这样的算法，那就是**子集构造法，**它的思路如下。

首先NFA有一个初始状态（从状态0通过ε转换可以到达的所有状态，也就是说，在不接受任何输入的情况下，从状态0也可以到达的状态）。这个状态的集合叫做“状态0的ε闭包”，简单一点儿，我们称之为s0，s0包含0、2、8、14这几个状态。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/9c/f7/9c35bf11efb869c5fa4a22e23de52ff7.jpg)

将字母i给到s0中的每一个状态，看它们能转换成什么状态，再把这些状态通过ε转换就能到达的状态也加入进来，形成一个包含“3、9、10、13、1”5个状态的集合s1。其中3和9是接受了字母i所迁移到的状态，10、13、1是在状态9的ε闭包中。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/d2/40/d2f3035a3492b680c56777b7fa375e40.jpg)

在s0和s1中间画条迁移线，标注上i，意思是s0接收到i的情况下，转换到s1：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/58/29/58388daf0627d0bc71efbf7b48401029.jpg)

在这里，我们把s0和s1分别看成一个状态。也就是说，要生成的DFA，它的每个状态，是原来的NFA的某些状态的集合。

在上面的推导过程中，我们有两个主要的计算：

1.ε-closure(s)，即集合s的ε闭包。也就是从集合s中的每个节点，加上从这个节点出发通过ε转换所能到达的所有状态。  
2.move(s, ‘i’)，即从集合s接收一个字符i，所能到达的新状态的集合。  
所以，s1 = ε-closure(move(s0,‘i’))

按照上面的思路继续推导，识别int关键字的识别路径也就推导出来了：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/be/00/be1a150ce14e828e8e9993b419360e00.jpg)

我们把上面这种推导的思路写成算法，参见[Regex.java](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Regex.java)中的NFA2DFA()方法。我写了一段伪代码，方便你阅读：

```
计算s0，即状态0的ε闭包
把s0压入待处理栈
把s0加入所有状态集的集合S
循环：待处理栈内还有未处理的状态集
   循环：针对字母表中的每个字符c
      循环：针对栈里的每个状态集合s(i)（未处理的状态集）
          计算s(m) = move(s(i), c)（就是从s(i)出发，接收字符c能够
                                   迁移到的新状态的集合）
          计算s(m)的ε闭包，叫做s(j)
          看看s(j)是不是个新的状态集，如果已经有这个状态集了，把它找出来
                  否则，把s(j)加入全集S和待处理栈
          建立s(i)到s(j)的连线，转换条件是c

```

运行NFA2DFA()方法，然后打印输出生成的DFA。画成图，你就能很直观地看出迁移的路径了：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/b3/ea/b31b50f7b527de9915b81cb7a117c2ea.jpg)

从初始状态开始，如果输入是i，那就走int识别这条线，也就是按照19、21、22这条线依次迁移，如果中间发现不符合int模式，就跳转到20，也就是标识符状态。

注意，在上面的DFA中，只要包含接受状态1的，都是DFA的接受状态。进一步区分的话，22是int关键字的接受状态，因为它包含了int关键字原来的接受状态7。同理，17是数字字面量的接受状态，18、19、20、21都是标识符的接受状态。

而且，你会发现，算法生成的DFA跟手工构造DFA是很接近的！我们在第二讲手工构造了DFA识别int关键字和标识符，比本节课少识别一个数字字面量：

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/11/3c/11cf7add8fb07db41f4eb067db4ac13c.jpg)

不过，光看对int关键字和标识符的识别，我们算法生成的DFA和手工构造的DFA，非常相似！手工构造的相当于把18和20两个状态合并了，所以，这个算法是非常有效的！你可以运行一下示例程序Regex.java中的matchWithDFA()的方法，看看效果：

```
private static boolean matchWithDFA(DFAState state, char[] chars, int index){
    System.out.println("trying DFAState : " + state.name + ", index =" + index);
    //根据字符，找到下一个状态
    DFAState nextState = null;
    for (Transition transition : state.transitions()){
        if (transition.match(chars[index])){
            nextState = (DFAState)state.getState(transition);
            break;
        }
    }

    if (nextState != null){
        //继续匹配字符串
        if (index < chars.length-1){
            return matchWithDFA(nextState,chars, index + 1);
        }
        else{
            //字符串已经匹配完毕
            //看看是否到达了接受状态
            if(state.isAcceptable()){
                return true;
            }
            else{
                return false;
            }
        }
    }
    else{
        return false;
    }
}

```

运行时会打印输出匹配过程，而执行过程中不产生任何回溯。

现在，我们可以自动生成DFA了，可以根据DFA做更高效的计算。不过，有利就有弊，DFA也存在一些缺点。比如，DFA可能有很多个状态。

假设原来NFA的状态有n个，那么把它们组合成不同的集合，可能的集合总数是2的n次方个。针对我们示例的NFA，它有13个状态，所以最坏的情况下，形成的DFA可能有2的13次方，也就是8192个状态，会占据更多的内存空间。而且生成这个DFA本身也需要消耗一定的计算时间。

当然了，这种最坏的状态很少发生，我们示例的NFA生成DFA后，只有7个状态。

## 课程小结

本节课，我带你实现了一个正则表达式工具，或者说根据正则表达式自动做了词法分析，它们的主要原理是相同的。

首先，我们需要解析正则表达式，形成计算机内部的数据结构，然后要把这个正则表达式生成NFA。我们可以基于NFA进行字符串的匹配，或者把NFA转换成DFA，再进行字符串匹配。

NFA和DFA有各自的优缺点：NFA通常状态数量比较少，可以直接用来进行计算，但可能会涉及回溯，从而性能低下；DFA的状态数量可能很大，占用更多的空间，并且生成DFA本身也需要消耗计算资源。所以，我们根据实际需求选择采用NFA还是DFA就可以了。

不过，一般来说，正则表达式工具可以直接基于NFA。而词法分析器（如Lex），则是基于DFA。原因很简单，因为在生成词法分析工具时，只需要计算一次DFA，就可以基于这个DFA做很多次词法分析。

## 一课一思

本节课我们实现了一个简单的正则表达式工具。在你的日常编程任务中，有哪些需要进行正则处理的需求？用传统的正则表达式工具有没有性能问题？你有没有办法用本节课讲到的原理来优化这些工作？欢迎在留言区分享你的发现。

最后，感谢你的阅读，如果这篇文章让你有所收获，也欢迎你将它分享给更多的朋友。

本节课的示例代码我放在了文末，供你参考。

*   lab/16-18（算法篇的示例代码）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/tree/master/lab/16-18) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/tree/master/lab/16-18)
*   Regex.java（正则表达式有关的算法）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Regex.java) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Regex.java)
*   Lexer.java（基于正则文法自动做词法解析）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Lexer.java) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/Lexer.java)
*   GrammarNode.java（用于表达正则文法）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/GrammarNode.java) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/GrammarNode.java)
*   State.java（自动机的状态）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/State.java) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/State.java)
*   DFAState.java（DFA的状态）：[码云](https://gitee.com/richard-gong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/DFAState.java) [GitHub](https://github.com/RichardGong/PlayWithCompiler/blob/master/lab/16-18/src/main/java/play/parser/DFAState.java)