# 01 | 平均值：不要被骗了，它不能代表整体水平

    数据给你一双看透本质的眼睛，这里是《数据分析思维课》，我是郭炜。

我们在日常生活中经常会遇到这种情况，看到某些统计报告里面说，“某市的人均住房面积是120平米”“计算机行业人均年收入超过50万元”。你看完这个数据之后，倒吸一口凉气，然后去微博感叹：“对不起，我又给大家拖后腿了”“对不起，我又被幸福了”。

你不必为此焦虑，我只能奉劝你，以后看到这么不专业的统计报告就别看了。来，我带你看看准确客观的平均值统计应该是怎样的。首先，你得知道平均值究竟是什么。

从概念上看，平均值有很多种。单从数学上来说，就有算术平均值、几何平均值、平方平均值、调和平均值、加权平均值等等。所以当有人和你说平均值的时候，你要留个心眼问问他，你这说的是哪个平均值呀？

当然，我们日常生活中提到的平均值都默认是“**算术平均值**”，也就是“**一组数据中所有数据之和再除以数据的个数**”。这个概念不难理解，你在小学的时候就开始学了。不过看到这里，你可以先结合我们上面的例子想想，算术平均值有什么短板吗？

我先给一道极其简单的数学题，你可以先想想。我们有3个数，他们分别是0，1，20，这三个数的平均值不难算，是(0+1+20)/3=7，那7这个平均值和之前的三个数是不是差距挺大呢？是不是有些不客观呢？

所以，有的时候，平均值并不能代表整体水平。

## 平均值在什么情况下才有价值？

那平均值到底在什么情况下才有价值呢？回答这个问题之前，我再给你讲个故事。

昨天下楼的时候，我听到小区两个大妈在讨论，“这次期末考试，班里语文的平均分是71分，我孙子考了85分，厉不厉害！”在工作中，我偶尔也会听到同事说，“我们客户的平均客单价是1000元钱，竞争对手的只有500元，我们的客户比对方的高端多了。”这些说法都对吗？还真不一定。

为了更好地解释这个问题，我先拿孩子的平均分给你举个例子。假设班级里20名学生的考试成绩如下图一样呈现两极分化的情况，一半孩子都在95分以上，还有近一半的孩子只有三四十分，我们很容易计算出这20名学生的成绩平均值是71.05（图中的红色直线）。

看上去孩子的85分比平均分71.05分高了很多，但你再仔细看，这个分数在好学生里其实是最差的那个，整体上看也只是班级中游水平。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/7f/ab/7f7c7aef0fd8e22fd002f73a7a46b7ab.jpg?wh=2000x1285)

同理，看上去这个企业的平均客单价很高——平均1000元，但如果你的数据是由1个1万元客户和10个100元的客户构成的（总收入11000元/11人=1000元/人），对方都是11个客单价500元的客户构成的，那么其实竞争对手才是真正的高客单价企业。

你可能会觉得我在抬杠，这些例子的数据集都太极端了吧？其实我是想说明一个问题：平均值是用所有样本数据计算的，**容易受到极端值的影响**。在不少情况下，平均值是没有价值的，它无法客观准确地反映数据整体情况。

更进一步来说，**整体平均值是在数据呈均匀分布或者正态分布的情况下才会有意义，如果忽略整个数据的分布情况，只提平均值，其实是没有意义的**。这也就是为什么你会在读一些统计分析报告时觉得自己不是“被加薪了”，就是“被幸福了”。

现在你明白了吗？在一些复杂情况下，我们是很难确定人群分布情况的，此时若直接使用平均数值，是很难反映整体真实情况的。

## 分组结论和整体平均值不是一回事

那怎么才能反映真实情况呢？

就拿平均薪水这个例子来说，你肯定有疑问：什么人啊？咋拿到那么多钱的？你肯定想看更详细的数据，诸如具体的岗位属性、工作年限、城市等等。有了这些信息，你才能知道你和人家的薪水差距到底差在哪了。

比如一个在一线城市工作3年的Java程序员的月平均工资是2万元，而我的月工资是1万元，那我确实是低一些，这个判断比起之前那个一刀切就准确太多了。

不知道你有没有注意到，在思考这个问题的过程中，你已经在不知不觉中引入了**分组**的逻辑。你应该也发现了，分组中的平均数和从整体中得到的平均数，是完全不一样的，分组中得到的平均数更具参考价值。

上面这个例子很好理解，我现在要顺着它抛出一个结论：**整体平均值不能代表各分组情况，分组结论和整体平均值结论可能会大相径庭。**

明白了吗？别急，我再讲一个例子反面论证一下这句话。话说NBA有两个球员，球员A和球员B，他们的投球的表现如下面这个图所示。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/39/30/39f22a9b0334591cf1836cc344ed4230.jpg?wh=1908x967)

这里我简单描述下，先说2分球的情况：A球员，2分球总共投了250个，投中了200个，命中率80%；B球员，投了100个，投中了90个，命中率90%。也就是说，以2分球的命中率来看，B更牛一些。

投3分球的时候，A球员一共投了50个，投中5个，命中率10%；B球员，一共投了150个，投中50个，命中率33.33%。看来，无论2分球还是3分球，Ｂ都比Ａ的投中率要高。看上去也是B比A厉害，对吧？

那问题就来了，可是从整体命中率来看好像不是这样啊。你看，如果我们算下两位球员的整体平均值（也就是整体投中率）。

![](https://static001.geekbang.org/resource/image/9f/36/9f1726a5a5431b0fab08ed8c51373e36.jpg?wh=1864x888)

A的总投球数是300个（250个2分球，50个3分球），共投中205个（200个2分球，5个3分球），投中率是68.33%；Ｂ呢，投了250个球，投中的两分和三分加到一起140个，那么他的投中率是56%，这么看来B比Ａ的投中率68.33%要低呀。

看到这个结果，你是不是很诧异，不信你再仔细看看这个图表，我的确没有在数据上做手脚。

**两分球和三分球投中率都比较高的这个球员B，整体的命中率反而下降了**，是不是让人有点大跌眼镜？如果你是篮球爱好者，你应该会发现问题，NBA里没算过整体命中率，一般都是把二分球和三分球的命中率分开说的。

## 辛普森悖论的启示

为什么NBA不计算整体命中率呢？就是因为这样算不准确。这里我们可以引入一个著名的悖论——**辛普森悖论**，它讲的就是这个问题。辛普森悖论是1951年由E.H.辛普森提出的，简单来讲就是**在分组比较中都占优势的一方，有的时候在总评中反而是失势的一方。**

我用前面NBA球员命中率的例子跟你分析下产生辛普森悖论的原因。首先，两分球和三分球的投球能力根本不是一回事，这两个投球数本身就不应该相加；另外，B球员虽然厉害，但是他60%的球都是命中率比较低的三分球，而绝对数量上命中率较高的两分球投得就少了，而三分球的投中率是明显低于两分球的，这样就拉低了他的整体的投中率，造成了整体的劣势。

是不是还是有点绕？用一句话来讲，就是“质”（命中率）与“量”（投球数）是两个维度的数据，如果全部合并成“质”（命中率）这个维度的数据，那就会出错了。

再举一个例子，某游戏公司做了款游戏，有Android和iOS版本，而每个系统都有手机版本和Pad版本。一个数据分析师看完用户的付费数据后，发现整体上Android付费率比较高。他就直接告诉老板说，“你看我们Android的用户付费率要高于iOS的用户付费率，我们应该大力发展Android客户端！”这个数字是真实的，但是结论很可能是错误的。

因为我们再细分下去你会发现，这个数据分析师也是错误地把“质”（付费率）和“量”（用户数）简单合并，是一种想当然的行为。

因为还有可能出现这样一种情况：Android无论是平板还是手机的付费率分别都比iOS低，但是整体上因为安卓手机（注意，只是手机用户）的用户比较多，所以把Android付费率整体拉高了。但其实细分下去iOS、Pad和手机的付费率都比Android高，只是整体付费率低而已。你要是还有疑虑，可以对照上面NBA的例子，自己再推演一下。

**所以，我再来总结下，看到一个平均值的时候，你一定要留个心眼，看看它的数据构成情况，而不是简单地用平均值去代表所有的整体。**生活是具体的，如果你想看到更为准确的数据，你应该分组拆开来看。因为辛普森悖论告诉我们，有的时候，在分组比较中占优势的一方，在总评中反而可能是失势的一方。但你要注意，只是“有的时候”。

就像最近我看到一些文章，说税率改革之后我们的整体工资的税率反而是变高了，而不是变低了。这也是同一个道理，我们用整体的平均值去掩盖个体每一个不同区间段的税率变化，是不对的。我们应该更细分的数据去评定实际的好坏。

除此之外，辛普森悖论也给我们一个启示，就是：**每次小范围内的输赢，其实和你在整体上的输赢没有太大直接的关系。**这也是为什么在打麻将或者打德扑真正赢的那些人，不是那些小牌把把赢的人，而往往是赢一把大的人。

这也是这个辛普森悖论衍生出来的一个推论，将来你要用数据分析做决策的时候，小到打牌、大到做投资，不要过于计较局部的得失，而是要在关键时刻对大概率有把握的事情放手一搏。

## 小结

好了，今天这篇文章就到这里。我在最后再来给你串讲下这节课的知识点。

首先，当别人给你说平均值的时候，你要和他确认下说的是哪个平均值。当然，生活中，我们提到的平均值基本都是在说**算术平均值**。其次，算术平均值特别敏感，它很容易受到**极端数据**的影响，所以在很多选秀节目里，你经常会听到最后计算分数时要去掉一个最高分和一个最低分，这是一个道理。

你也一定要意识到，整体平均值是在**数据均匀分布或者正态分布**下才会有意义，如果忽略整个数据的分布情况，只提平均值是没有价值的。

最后，我和你聊了辛普森悖论。工作生活中，我们经常会遇到这样的悖论，甚至我见过很多传销人员就在用这个悖论在忽悠人，如果你遇到这样的案例，别忘了那句话：**分组结论和整体平均值结论可能会大相径庭**。

在我们的生活里，我们总提“质量”这个词，但是拆开来看，“质”与“量”是不等价的。所以当你不被大部分人所理解时，有可能是因为你选的路是一条少数人走的路。平均值和辛普森悖论告诉我们要抓大放小，不要因为某一个单项优势就洋洋得意，也不要因为局部失败就一蹶不振。生活，要有一颗平常心，我们的目标是让我们这一生的“人生平均值”逐步提高。

数据给你一双看透本质的双眼，让我们持续学习，持续提高。

## 课后思考

最后我给你留一个课后思考题：你在你的生活里，你还遇到过哪些平均值和辛普森悖论的例子吗？欢迎你分享出来，我们一块讨论。

欢迎在留言区与我分享你的想法，也欢迎你在留言区记录你的思考过程，如果你能有其他案例，那就更好了。感谢阅读，如果你觉得这篇文章对你有帮助的话，也欢迎把它分享给更多的朋友。