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# 20 | 二分查找：提升程序的查找效率
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你好，我是胡光，欢迎回来。
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上节课，我们讲了链表的基础结构，以及体会了一把链表结构在思维逻辑层面的作用，就是面对看似复杂的问题，当我们把它转换成链表结构思维去解决的时候，这些问题和困难都迎刃而解。
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今天呢，我将带你学习一种简单、有趣且高效的算法，叫做二分查找。在学习二分查找之前呢，有一个关于二分查找的笑话，你必须知道。
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话说，在学校图书馆的计算机科学相关书籍借阅区里面，有一个女生抱着 40 本书往外走，经过图书馆安检机器的时候，安检机器发出了警报声。这时候，女生很无奈，就把书放到了地上，准备一本一本地去试，看看究竟是哪一本书没有消磁。
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女生的举动，被旁边图书馆管理员阿姨看到了，阿姨看不下去了，叫住了她，说：这么一本一本的尝试，多慢啊！我教你一种方法。眼看阿姨将书分成两摞，拿起其中一摞的书，过了一下安检，安检机器响了，阿姨就又将这摞书分成了两部分，拿出其中一部分又过了一次安检……就这样，阿姨每次将书的数量减少一半，没几次就找到了那本没有消磁的书。阿姨得意洋洋地说：小姑娘，这就是书中讲的二分查找算法，你这专业知识不过关啊！次日，图书馆发现，丢了 39 本书。
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上面这个故事中的阿姨，虽然知道二分查找算法，可明显是对使用算法的前提条件没有搞清楚。今天，我教给你的不仅是二分查找算法本身，还希望你能准确搞清楚二分查找算法的使用场景。
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## 今日任务
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在正式开始课程之前呢，先来看一下我们今天这 10 分钟的任务吧。
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假设你手上有 n 段长度不等的绳子，你现在想将这些绳子进行裁剪，裁剪出 k 条长度相等的绳子，注意，只能剪断绳子，不能拼接绳子。问题就是，你能得到的这 k 段绳子的最长长度是多长？
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如图所示，如果你手中有 3 条绳子，分别是 4米、6米 和 5米，想要切出等长的4段，你会发现，每段最长就是 3 米。
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那么我们是如何得到“每段最长就是3米”这个答案的呢？当然，你可以采用枚举法，就是先尝试能不能切出至少 4 段的 1 米长绳子，如果可以的话，再去尝试每段长度 2 米是否可行，依次尝试下去，直到尝试不下去为止。最后一次尝试可行的长度，就是每段绳子的最长长度了。
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这种做法，就像前面故事中想要一本一本进行尝试的女生，显得低效且繁琐。而今天，我将扮演图书馆阿姨的角色，当然，不会像故事中的阿姨一样，犯了前提条件没有搞清的错误，去给你讲一种更高效的方法！
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## 必知必会，查缺补漏
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#### 1.二分查找算法基础
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最简单的二分算法的形式，就是在一个有序数组中，查找一个数字 x 是否存在。而二分算法，就是要基于这种有序性，才能对原问题进行加速求解。
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我们先来思考，如何在一个数组中查找一个数字 x，最直接的方法，就是从头到尾一个一个找，找到了就是有数字x，找不到就是没有数字x。
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而二分算法呢，是确定一个查找区间，然后从查找区间的一半处，与 x 进行比较，如果中间的数字比 x 大，说明x 在前半段，就把后半段扔掉；如果比 x 小，就把前半段扔掉，继续在后半段区间内查找。你会发现，二分查找的过程，每一次比较，都会使区间减少一半，对于一个大小为 n 的区间，我们只需要 ${log\_2}{n}$ 次比较操作即可确定结果。
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具体的过程呢，如下图所示：
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图中呢，我们以查找 17 这个数字为例，L 和 R所圈定的，就是当前的查找区间，一开始 L = 0，R = 6，mid 所指向的就是数组的中间位置，根据 L 和 R 计算得到 mid 的值是 3。查看数组第 3 位的值是 12，比待查找值 17 要小，说明如果 17 在这个有序数组中，那它一定在 mid 所指向位置的后面，而 mid 本身所指向的数字已经确定不是 17 了，所以下一次我们可以将查找区间，定位到 mid + 1 到 R，也就是将 L 调整到 mid + 1 （即数组第4位）的位置。
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理解二分查找的过程，首先要理解二分查找是怎么保证查找过程正确性的。中心思想就一个：**不管如何调整区间，都要保证待查找数字，总是落在我们的由 L 和 R 标记的查找区间内部**。而二分查找，实际上“二分”的就是查找范围。这个过程，就像警察排查犯罪嫌疑人一样，通过一些特定的条件，快速地缩小范围，并锁定真正的罪犯。
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下面是一份二分查找的示例代码：
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int binary_search(int *arr, int n, int x) {
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int l = 0, r = n - 1, mid;
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while (l <= r) {
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mid = (l + r) >> 1;
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if (arr[mid] == x) return mid;
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if (arr[mid] > x) r = mid - 1;
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else l = mid + 1;
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}
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return -1;
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}
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如代码所示，binary\_search 函数传入三个参数，分别代表有序数组 arr，数组长度 n 和待查找数字 x。如果在数组中存在数字 x，函数将返回 x 数字的下标，否则就会返回 -1，代表数组中不存在数字 x。
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你会看到，函数中有一个 while 循环，循环的执行条件是 l <= r，意味着待查找区间不为空。每次循环开始的时候，都是先通过 l 和 r 的值，计算得到一个中间位置的下标 mid 值，然后比较 mid 位置的值与 x 的大小关系，从而确定区间调整策略。
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如果 arr\[mid\] 大于 x，说明 x 值在区间的前半段，那么mid 及 mid 位置以后的值，就不在下一次查找的范围之内了，我们就把区间的尾部位置 r 向前移动，移动到 mid - 1 位。arr\[mid\] 小于 x 时候的调整策略与之类似。
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至此，我们就讲完了基础的二分查找算法。
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#### 2.二分答案的基本思路
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其实二分查找的算法思想，最有价值的部分，不是刚才讲的有序数组查找问题。而是由其衍生出来的叫做“二分答案”的思想。
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关于二分答案的思想，你可以先回想一下，我们是如何介绍数组与函数的关系的？我们说：数组和函数本质上做的都是映射，函数是压缩的数组，数组是展开的函数。
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我们沿着函数和数组的关系，回头再看看二分查找的代码，你会发现二分查找是在一个有序数组中，确定某一位为待查找值的位置，也就是 arr\[x\] = y，给定待查找 y 值，确定 x 值。对于这个有序数组，我们可以看成是一个单调函数，而对于这个arr\[x\] = y中去确定 x 值的过程，可以看成是对单调函数 f(x) = y 进行求解的过程。
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如何判断，什么场景下需要使用二分思想对问题求解呢？其实，二分能解决的问题，还是比较有代表性的，基本需要满足如下两点：
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1. f(x) 是一个单调函数。
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2. f(x) = y 函数，由 x 确定 y 值比较简单，而由 y 值确定 x 就比较困难。
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关于第一点，我就不做过多解释了。至于第二点，你可以参考有序数组那个例子，对于数组来说，arr\[x\] = y，给定数组下标 x，确定值 y，这个过程对于计算机来说很容易，可给定 y 值，确定 y 值所在的下标 x，这个过程就不太容易了。所以，我们使用了二分查找算法。
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总地来说，**二分答案就是把二分查找过程中的数组换成了函数**。关于二分答案的知识，你先理解思想，接下来我会用具体例子来给你展示。
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## 一起动手，搞事情
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今天给你留的作业题呢，是一个我们大家普遍都比较关心的问题，与计算工资有关系。下表是“个人所得税缴纳税率表”的一部分：
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按照表格所示，如果一个人的每月工资是 18600，首先扣除不超过3000部分的3% 的所得税 90 元，然后扣除3000 到 12000 部分的 10%，就是(12000 - 3000) \* 10% = 900，最后是扣除 12000 到 18600 的部分的 20%，也就是 (18600 - 12000) \* 20% = 1320。所以，此人每月到手工资应该是：18600 - 90 - 900 - 1320 = 16290 元。
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如果要是让你通过上表，计算一个人的税后工资，那这个任务可太容易了，我不会将这么简单的任务交给你的。
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你今天要做的，是通过一个人的税后工资，反推出他/她的税前工资，也就是针对于上面这个例子，我给出税后工资 16290，你的程序应该能够计算得到税前工资 18600。想一想，怎么做吧，加油！
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## 切出最长的绳子
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最后，我们回到今天的任务。我们将每一段绳子的长度 x，与能切出来的绳子段数之间，看成一个映射关系，用函数 f(x) = y 来表示，代表每一段长度为 x 的情况下，最多能切出来 y 段绳子。你很容易发现，f 函数是一个单调函数，随着每一段长度的增加，能切出来的段数 y 是在减少的，而对于我们来说，就是要确定 y = k 时的 x 的最大值。
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让我们总结以下 f(x) 函数的性质，首先f(x) 函数是单调函数，x 越大，y 值越小。其次，你应该可以感受出来，当我给你每一段长度 x 的时候，你很容易确定 f(x) = y 的 y 值，而如果让你通过 y 值求解 x，就没那么容易了！
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至此，我们从这个任务出现的问题中，看到了能够使用二分思想的两个最重要的性质，下面我们就用二分思想的思路，来解决这个问题，下面是我给出的参考代码：
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#define EPS 1e-7
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double l[100], n;
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int f(double x) {
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int cnt = 0;
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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cnt += (int)floor(l[i] / x);
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}
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return cnt;
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double binary_search(double *l, double *r, int k) {
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if (r - l <= EPS) return r;
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double mid = (l + r) / 2.0;
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if (f(mid) < k) return bs(l, mid, k);
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return bs(mid, r, k);
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}
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代码中的 binary\_search 就是二分答案的过程，函数 f 传入每一段的长度 x，返回最多能切多少段，变量 n 记录的是原始绳子的数量，l 数组记录的是每一段原始绳子的长度。
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让我们把目光集中到 binary\_search 函数过程，这一段二分答案的程序，使用递归的程序设计技巧，其实和之前给你演示的循环程序本质思想都是一样的。其中 l 和 r 表示待查找区间范围，也就是每一段绳子的长度范围。
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递归程序的边界条件，是当 r - l 小于等于一个极小值的时候，就终止递归。这里需要特殊的说明一下，根据浮点数在我们计算机中的表示方法，我们很难用判等操作来判断两个浮点值相等，取而代之的，就是当这两个浮点值已经很接近的时候，我们就认为它俩是一个值。代码中的 EPS 是一个宏，就是我们控制的精度，一般控制在 $10^{-7}$ 范围，两个值相差不到 $10^{-7}$ 的时候，我们就认为这两个浮点值相等。
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关于调整搜索范围的代码，我就不再赘述了，剩下的你自己就可以看明白了。至此，我们就解决了今天的任务。
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## 课程小结
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最后，我们来做一下课程小结。今天我们学习了二分查找算法，以及由二分思想延伸出来的二分答案相关算法思想。关于这些知识，你只需要记住如下几点即可：
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1. 二分算法框架，是求解具有单调性问题的利器。
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2. 二分算法，通常用来求解那些f(x) = y 问题中，给定 y，求解 x 的问题。
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3. 再次强调，数组和函数在思维层面，没有什么本质差别。
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总结完了以后呢，我们再回顾那个笑话故事，图书馆阿姨用二分算法为什么会导致图书馆丢了 39 本书呢？如果我们将书的编号和是否是图书馆的书之间，做一个函数映射的话，你会发现这种映射出来的函数，本质上没有单调性。所以，原因就是阿姨将二分算法思想用错场景了。
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好了，今天就到这里了，我是胡光，我们下期见。
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